算法分析之——heap-sort堆排序

堆排序是一种原地排序算法，不使用额外的数组空间，运行时间为O(nlgn)。本篇文章我们来介绍一下堆排序的实现过程。
要了解堆排序。我们首先来了解一个概念，全然二叉树。

堆是一种全然二叉树或者近似全然二叉树。

什么是全然二叉树呢？百度百科上给出定义：全然二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上仅仅缺少右边的若干结点。以下用两个小图来说明全然二叉树与非全然二叉树。

（图片来自百度，大家能够忽略水印…..）

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）不论什么一个子节点的键值。

2．每一个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于不论什么一个子节点的键值时为最大堆。

当父结点的键值总是小于或等于不论什么一个子节点的键值时为最小堆。

堆排序也是基于分治思想的。主要有以下三步：

1. 初始化，从第一个非叶结点開始遍历，使以其为根的树为大根堆；
2. 交换堆顶元素与堆尾元素。筛选出最大的值。调整新的堆为大根堆。
3. 反复2，每次筛选出堆中的最大元素，堆排序完毕。
   本次。我们举例的数组例如以下：数组长度length=10。
   
   相应的堆结构：
   

从第一个非叶结点開始。建初堆

void BUILD_MAX_HEAP(int A[],int length)
{
    int i;
    for(i=((length/2)-1);i>=0;i--)//length/2-1,为第一个非叶结点
        MAX_HEAPIFY(A,i);

}

保持堆的性质

void MAX_HEAPIFY(int A[],int i)
{
    int l,r,largest,middle;
    l=LEFT(i);
    r=RIGHT(i);
    if(l<heap_size && A[l]>A[i])
        largest = l;
    else 
        largest= i;
    if(r<heap_size && A[r]>A[largest])
        largest = r;
    if(largest!=i)
    {
        middle=A[largest];
        A[largest]=A[i];
        A[i]=middle;
        MAX_HEAPIFY(A,largest);

    }
}

堆排序的详细实现

void heap_sort(int A[],int length)
{
    BUILD_MAX_HEAP(A,length);

    int i,middle;
    for(i=length-1;i>0;i--)
    {
        middle=A[0];
        A[0]=A[i];
        A[i]=middle;
        heap_size--;
        MAX_HEAPIFY(A,0);

    }   
}

以下为程序运行的简单的过程。分析不够全面，可是足以说明问题。

1.分析步骤4中的for循环，BUILD_MAX_HEAP(A,length);即建初堆的过程。i从length/2-1循环到0，即从4循环到0。（4为第一个非叶结点）
（1）i=4。MAX_HEAPIFY(A,i)。MAX_HEAPIFY(A,4);
<1>计算左叶子节点的编号l=LEFT(i)=(2*i+1)=9; 计算右叶子节点的编号r=RIGHT(i)=(2*i+2)=10;
注:此处计算左右叶子节点的编号时，要注意数组是从0还是从1開始的。若从0開始。左叶子节点为(2*i+1)，右叶子节点为(2*i+2)。若从1開始，左叶子为2*i;右叶子为2*i+1

<2>推断左右叶子节点与根节点的大小，将当中节点编号的较大值赋值给largest;
heap_size为堆的大小，開始heap_size=length=9

if(l<heap_size && A[l]>A[i])
        largest = l;
    else 
        largest= i;
    if(r<heap_size && A[r]>A[largest])
        largest = r;

当i=4时，largest=4

<3>推断largest是否等于根节点，若不为根节点。说明当中左叶节点或者右叶节点比根节点的值大，则此时交换根节点与largest节点的值。

if(largest!=i)
    {
        middle=A[largest];
        A[largest]=A[i];
        A[i]=middle;
        MAX_HEAPIFY(A,largest);

    }

由于此处largest=i,因此不运行这一步，运行下一次for循环

（2）i=3;MAX_HEAPIFY(A,i)；MAX_HEAPIFY(A,3);
<1>计算左叶子节点的编号l=LEFT(i)=(2*i+1)=7; 计算右叶子节点的编号r=RIGHT(i)=(2*i+2)=8;

<2>推断左右叶子节点与根节点的大小。将当中节点编号的较大值赋值给largest;
largest=7

<3>推断largest是否等于根节点，若不为根节点。说明当中左叶节点或者右叶节点比根节点的值大，则此时交换根节点与largest节点的值。

<4>运行MAX_HEAPIFY(A,largest);MAX_HEAPIFY(A,7);将以largest为根的树调整为大根堆

（3）i=2;步骤与2中的<1>~<4>同样。largest=6,发生交换。

此处不再分析。

（4）i=1;时分析过程參考步骤与2中的<1>~<4>。

运行后的结果

(5)i=0;

2.步骤6中的for循环分析。即筛选出最大的值。缩小堆的规模，保持堆的性质的过程。
length=10，i从length-1到1。即从9循环到1

for(i=length-1;i>0;i--)
    {
        middle=A[0];
        A[0]=A[i];
        A[i]=middle;
        heap_size--;
        MAX_HEAPIFY(A,0);

    }   

（1）i=9;交换A[i]与A[0]。此时i是堆的最末的那个元素，A[0]是堆顶元素，即最大的元素，将最大元素交换到堆尾。而且堆的规模缩小一个，即此时待又一次排序的堆是红框框起来的部分,此时运行MAX_HEAPIFY(A,0);上面已经分析，此处不再赘述。

（2）i=8;交换A[i]与A[0];heap_size–;MAX_HEAPIFY(A,0);

(3)以下的循环不再举例，我们能够看出。每次都筛选出当前堆中最大的元素。

3.最后给出程序运行的截图：

程序源码下载地址：堆排序实现代码