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P4294 [WC2008]游览计划

斯坦纳树

斯坦纳树，是一种神奇的树。它支持在一个连通图上求包含若干个选定点的最小生成树。

前置算法：spfa+状压dp+dfs（大雾）

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我们设$f[o][P]$为第$o$个点上状态为$P$的最小代价，其中状态使用二进制存储已经连接了多少个选定点。

初始化：显然对于每个选定点，$f[o][1<<k]=0$，$k$为该选定点在所有选定点中的编号。其他为$inf$

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蓝后就是将状态从小到大枚举进行递推

$for(P=0;P<(1<<k);++P)$

对于每层递推，枚举所有点$1$~$o$；

我们先考虑这个点连接了2个不同连通块（链）的状况（并为spfa做好准备）

于是我们枚举$P$的真子集进行递推

$for(j=(P-1)&P;j;j=(j-1)&P)$

枚举真子集↑

$f[o][P]=min(f[o][P],f[o][j]+f[o][P$^$j]-val[o]);$

注意该式适用于计算点权，减去$val[o]$是去掉重复点权。如果计算边权需作修改。

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但是这样显然远远不够。于是我们用$spfa$通过类似$dp$的形式处理好剩下的所有状况。

对于前面的$f[o][P]$，任何$f[o][P]<inf$都应作为每层spfa的起点（显然spfa也是每层执行）

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在共$K$个给定点中，随意找一个给定点作为树根$rt$。

$ans=f[rt][(1<<K)-1]$

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对于本题$(extra)$：输出一种方案

我们在每次更新$f[o][P]$时

用$fa[o][P]$记下$f[o][P]$从哪个状态推导而来

最后从树根$rt$用$dfs$倒推回去，更新答案即可。

void dfs(pii u,int o){//u:坐标
    par G=fa[F(u)][o];
    if(!G.se) return;
    use[u.fi][u.se]=1;
    if(G.fi==u) dfs(u,o^G.se);//两个联通块合并而来，则要从两条路递推回去。
    dfs(G.fi,G.se);
}

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$code:$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<pii,int> par;
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
int d1[4]={0,1,0,-1};
int d2[4]={1,0,-1,0};
int n,m,tot,k,inf,f[105][1030],id[15][15],a[15][15];
bool in[15][15],use[15][15];
par fa[105][1030]; pii rt;
queue <pii> h;
inline int F(pii x){return id[x.fi][x.se];}
void spfa(int o){
    while(!h.empty()){
        pii x=h.front(); h.pop(); in[x.fi][x.se]=0;
        for(int i=0;i<4;++i){
            int r1=x.fi+d1[i],r2=x.se+d2[i],to=id[r1][r2];
            if(r1<0||r1>=n||r2<0||r2>=m) continue;
            if(f[to][o]>f[F(x)][o]+a[r1][r2]){
                f[to][o]=f[F(x)][o]+a[r1][r2];
                fa[to][o]=mp(x,o);
                if(!in[r1][r2]) h.push(mp(r1,r2));
            }
        }
    }
}
void dfs(pii u,int o){//逆推找可行方案
    par G=fa[F(u)][o];
    if(!G.se) return;
    use[u.fi][u.se]=1;//选择点u
    if(G.fi==u) dfs(u,o^G.se);
    dfs(G.fi,G.se);
}
int main(){
    memset(f,63,sizeof(f)); inf=f[0][0];
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;++i)
        for(int j=0;j<m;++j){
            scanf("%d",&a[i][j]);
            id[i][j]=++tot;
            if(!a[i][j]) rt=mp(i,j),f[tot][1<<k]=0,++k;
        }
    for(int P=0;P<(1<<k);spfa(P),++P)//每层递推的最后来一次spfa
        for(int x=0;x<n;++x)
            for(int y=0;y<m;++y){
                int o=id[x][y];
                for(int j=(P-1)&P;j;j=(j-1)&P)//枚举真子集
                    if(f[o][P]>f[o][j]+f[o][P^j]-a[x][y]){
                        f[o][P]=f[o][j]+f[o][P^j]-a[x][y];
                        fa[o][P]=mp(mp(x,y),j);
                    }
                if(f[o][P]<inf) h.push(mp(x,y)),in[x][y]=1;//可行点都能spfa
            }
    printf("%d
",f[F(rt)][(1<<k)-1]); dfs(rt,(1<<k)-1);
    for(int i=0;i<n;++i,printf("
"))
        for(int j=0;j<m;++j){
            if(!a[i][j]) printf("x");
            else if(use[i][j]) printf("o");
            else printf("_");
        }
    return 0;
}