bzoj4403: 序列统计

Description

给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^6+3取模的结果。

Input

输入第一行包含一个整数T，表示数据组数。

第2到第T+1行每行包含三个整数N、L和R，N、L和R的意义如题所述。

1≤N,L,R≤10^9，1≤T≤100，输入数据保证L≤R。

Output

输出包含T行，每行有一个数字，表示你所求出的答案对10^6+3取模的结果。

Sample Input

2
1 4 5
2 4 5

Sample Output

2
5
//【样例说明】满足条件的2个序列为[4]和[5]。

 

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 题目所求的是可重复组合

公式：$H(n,r)=C(n+r-1,r)$

将公式套到本题数据上：$ans=sum_{i=1}^{n}H(r-l+1,i)=sum_{i=1}^{n}C(r-l+i,i)$

为了便于化简，我们设$k=r-l$

那么$ans=sum_{i=1}^{n}C(k+i,i)=sum_{i=1}^{n}C(k+i,k)$

把式子展开

$=C(k+1,k)+C(k+2,k)+C(k+3,k)+...+C(k+n,k)$

添上一个$C(k+1,k+1)-1$，得：

$=C(k+1,k+1)+C(k+1,k)+C(k+2,k)+C(k+3,k)+...+C(k+n,k)-1$

套上杨辉三角公式$C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)$

$=C(k+2,k+1)+C(k+2,k)+C(k+3,k)+...+C(k+n,k)-1$

$=C(k+n+1,k+1)-1$

用$Lucas$求解。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define re register
using namespace std;
typedef long long ll;
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
const int p=1e6+3;
int t,n,l,r;ll fac[p+2];
ll Pow(ll x,int y){
    ll res=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%p)
        if(y&1) res=res*x%p;
    return res;
}
ll C(int a,int b){
    return a<b?0:fac[a]*Pow(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2)%p;
}
ll lucas(int a,int b){
    return b?lucas(a/p,b/p)*C(a%p,b%p)%p:1;
}
int main(){
    scanf("%d",&t); fac[0]=1;
    for(re int i=1;i<=p;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    while(t--){
        scanf("%d%d%d",&n,&l,&r); int k=r-l;
        printf("%lld
",(lucas(n+k+1,min(n,k+1))-1+p)%p);
    }return 0;
}