模拟退火算法

一. 爬山算法 ( Hill Climbing )

      作为对比，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。

      爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

 

二. 模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想

      爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。

      模拟退火算法描述：

• 若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) )  (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动
• 若J( Y(i+1) )< J( Y(i) )  (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）

　　这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。

　　根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为Δt的降温的概率为P(Δt)，表示为：

　　　　P(Δt) = e^{(- Δt/(kT) )}

　　其中k是一个常数，e表示自然指数，且Δt<0。这条公式说白了就是：温度越高（T越大），出现一次能量差为Δt的降温的概率就越大；温度越低（T越小），则出现降温的概率就越小。又由于Δt总是小于0（否则就不叫退火了），因此Δt/kT < 0 ，所以P(Δt)的函数取值范围是(0,1) 。随着温度T的降低，P(Δt)会逐渐降低。

三. 模拟退火算法伪代码

/*
* J(y)：在状态y时的评价函数值
* Y(i)：表示当前状态
* Y(i+1)：表示新的状态
* r： 用于控制降温的快慢
* T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态
* T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索
*/
while( T > T_min )
{
　　dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ; 

　　if ( dE >=0 )                        //表达移动后得到更优解，则总是接受移动
        Y(i+1) = Y(i) ;                  //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
　　else
　　{
       if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
            Y(i+1) = Y(i) ;              //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
　　}
　　T = r * T ;                          //降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快
　　/*
　　* 若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值
　　*/
　　i ++ ;
}

四. 使用模拟退火算法解决旅行商问题

旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。
旅行商问题属于所谓的NP完全问题，精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合，其时间复杂度是O(N!) 。
使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（使用遗传算法也是可以的）模拟退火解决TSP的思路：

1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )
2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温
3. 重复步骤1，2直到满足退出条件

产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：

1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。
2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。
3. 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。

参考代码

#include <iostream>  
#include <sstream>  
#include <fstream>  
#include <string>
#include <cstring>
#include <iterator>  
#include <algorithm>  
#include <climits>  
#include <cmath>  
#include <cstdlib>  
  
using namespace std;  
  
const int nCities = 10;           //城市数量  
const double SPEED = 0.98;        //退火速度  
const int INITIAL_TEMP = 1000;    //初始温度  
const int L = 10 * nCities;       //Markov 链的长度  

struct unit                             //一个解  
{  
    double length;                      //代价，总长度  
    int path[nCities];                  //路径  
    bool operator < (const struct unit &other) const  
    {  
        return length < other.length;  
    }  
};  
unit bestone = {INT_MAX, {0} };         //最优解  

double length_table[nCities][nCities];  //distance  
 
class saTSP
{
    public:
        int init_dis();                  // create matrix to storage the Distance each city
        void SA_TSP();  
        void CalCulate_length(unit &p);  //计算长度  
        void print(unit &p);             //打印一个解  
        void getNewSolution(unit &p);    // 从邻域中获去一个新解  
        bool Accept(unit &bestone, unit &temp, double t);//新解以Metropolis 准则接受  
};
  
//stl 中 generate 的辅助函数对象  
class GenbyOne {  
    public:  
        GenbyOne (int _seed = -1): seed(_seed){}  
        int operator() (){return seed += 1;}  
    private:  
        int seed;  
};  
  
void saTSP::SA_TSP()  
{  
    srand((int)time(0));  
    int i = 0;  
    double r = SPEED;  
    double t = INITIAL_TEMP;  
    const double t_min = 0.001; //温度下限，若温度达到t_min ，则停止搜索  
  
    //choose an initial solution ~  
    unit temp;  
    generate(temp.path, temp.path + nCities, GenbyOne(0));  
    random_shuffle(temp.path, temp.path + nCities);  
    CalCulate_length(temp);  
    memcpy(&bestone, &temp, sizeof(temp));  

    // while the stop criterion is not yet satisfied do  
    while ( t > t_min )  
    {  
        for (i = 0; i < L; i++)   
        {  
  
            getNewSolution(temp);  
            //cout << "dkkd:" << bestone.length << endl;
            if(Accept(bestone,temp, t))  
            {  
                memcpy(&bestone, &temp, sizeof(unit));  
            }  
            else  
            {  
                memcpy(&temp, &bestone, sizeof(unit));  
            }  
        }  
        t *= r; //退火  
    }  
    return;  
}  
  
bool saTSP::Accept(unit &bestone, unit &temp, double t)  
{  
    if (bestone.length > temp.length) //获得更短的路径  
    {  
        return true;  
    }  
    else  
    {  
        if ((int)(exp((bestone.length - temp.length) / t) * 100) > (rand() % 101) )   
        {  
            return true;  
        }  
    }  
    return false;  
}  
  
void saTSP::getNewSolution(unit &p)  
{  
    int i = rand() % nCities;  
    int j = rand() % nCities;  
    if (i > j)   
    {  
        int t = i;  
        i = j;  
        j = t;  
    }  
    else if (i == j)      
    {  
        return;   
    }  
  
    int choose = rand() % 3;  
    if ( choose == 0)   
    {//交换  
        int temp = p.path[i];  
        p.path[i] = p.path[j];  
        p.path[j] = temp;  
    }  
    else if (choose == 1)   
    {//置逆  
        reverse(p.path + i, p.path + j);       
    }  
    else  
    {//移位  
        if (j + 1 == nCities) //边界处不处理  
        {  
            return;  
        }  
        rotate(p.path + i, p.path + j, p.path + j + 1);    
    }  
    CalCulate_length(p);  
}  
  
int saTSP::init_dis() // create matrix to storage the Distance each city  
{  
    int i = 0, j = 0;  
    string line;
    double word;
    ifstream infile("del2.txt");  
    if(!infile)
    {
        cout << "Cannot open the file" << endl;
        return 0;
    }
    
    while(getline(infile, line))
    {
        j = 0;
        istringstream instream(line);
        while(instream >> word)
        {
            length_table[i][j] = word;  
            ++j;
        }
        ++i;
    }
}  
  
void saTSP::CalCulate_length(unit &p)  
{  
    int j = 0;  
    p.length = 0;  
    for (j = 1; j < nCities; j++)   
    {  
        p.length += length_table[ p.path[j-1] ][ p.path[j] ];  
    }  
    p.length += length_table[p.path[ nCities - 1] ][ p.path[0] ];  
}  
  
void saTSP::print( unit &p)  
{  
    int i;  
    cout << "代价是：" << p.length << endl;  
    cout << "路径是：";  
    for (i = 0; i < nCities; i++)   
    {  
        cout << p.path[i] << " ";  
    }  
    cout << endl;  
}  

int main(int argc, char* argv[])  
{  
    saTSP sa;
    sa.init_dis();  
    sa.SA_TSP();  
    sa.CalCulate_length(bestone);  
    sa.print(bestone);  
    return 0;  
}  

del2.txt

0 5 1272 2567 1653 2097 1425 1177 3947 3
5 0 4 2511 1633 2077 1369 1157 3961 1518
1272 4 0 1 380 1490 821 856 3660 385
2567 2511 1 0 1 2335 1562 2165 3995 933
1653 1633 380 1 0 1 1041 1135 3870 456
2097 2077 1490 2335 1 0 1 920 2170 1920
1425 1369 821 1562 1041 1 0 1 4290 626
1177 1157 856 2165 1135 920 1 0 1 1290
3947 3961 3660 3995 3870 2170 4290 1 0 4
3 1518 385 993 456 1920 626 1290 4 0

运行结果

参考

 大白话解析模拟退火算法