损失函数（loss function）是用来估量你模型的预测值f(x)与真实值Y的不一致程度，它是一个非负实值函数,通常使用L(Y, f(x))来表示，损失函数越小，模型的鲁棒性就越好。损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数重要组成部分。模型的结构风险函数包括了经验风险项和正则项，通常可以表示成如下式子：
其中，前面的均值函数表示的是经验风险函数，L代表的是损失函数，后面的Φ。
一、损失函数中正则化项L1、L2
正则化（Regularization）
机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作-norm和-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。
L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项即为L1正则化项。
下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项即为L2正则化项。
一般回归分析中回归表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：
- L1正则化是指权值向量中各个元素的绝对值之和。
- L2正则化是指权值向量中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号）。
一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用a表示，一些文章也用a表示。这个系数需要用户指定。
那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。
- L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择。
- L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合。
稀疏模型与特征选择
稀疏矩阵的概念
- 在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目时，则称该矩阵为稀疏矩阵。与之相反，若非0元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。
- 稀疏矩阵其非零元素的个数远远小于零元素的个数，而且这些非零元素的分布也没有规律。
- 稀疏因子是用于描述稀疏矩阵的非零元素的比例情况。设一个n*m的稀疏矩阵A中有t个非零元素，则稀疏因子δδ的计算公式如下：δ=t/n∗m(当这个值小于等于0.05时，可以认为是稀疏矩阵)
上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？
稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。
L1和L2正则化的直观理解
这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。
L1正则化和特征选择
假设有如下带L1正则化的损失函数：
图1 L1正则化
图中线是的等值线，黑色方形是函数的图形。在图中，当等值线与图形首次相交的地方就是最优解。上图中与在的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是。可以直观想象，因为函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），与这些角接触的机率会远大于与其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。
而正则化前面的系数，可以控制图形的大小。越小，的图形越大（上图中的黑色方框）；越大，的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值中的可以取到很小的值。
类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：
图2 L2正则化
二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此与相交时使得或等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。
L2正则化和过拟合
拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。
正则化参数的选择
L1正则化参数
通常越大的可以让代价函数在参数为0时取到最小值。下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。
假设有如下带L1正则化项的代价函数：
其中是要估计的参数，相当于上文中提到的以及. 注意到L1正则化在某些位置是不可导的，当足够大时可以使得在0时取到最小值。如下图：
图3 L1正则化参数的选择
分别取和，可以看到越大的越容易使在0时取到最小值。
L2正则化参数
从公式5可以看到，越大，衰减得越快。另一个理解可以参考图2，越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。
Reference
过拟合的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss2.html
正则化的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss1.html
正则化的解释：
http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657
正则化的数学解释（一些图来源于这里）：
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995
二、损失函数中的 交叉熵、相对熵
在很多二分类问题中，特别是正负样本不均衡的分类问题中，常使用交叉熵作为loss对模型的参数求梯度进行更新，那为何交叉熵能作为损失函数呢，我也是带着这个问题去找解析的。
我们都知道，各种机器学习模型都是模拟输入的分布，使得模型输出的分布尽量与训练数据一致，最直观的就是MSE（均方误差，Mean squared deviation), 直接就是输出与输入的差值平方，尽量保证输入与输出相同。这种loss我们都能理解。
以下按照（1）熵的定义（2）交叉熵的定义 (3) 交叉熵的由来 （4）交叉熵作为loss的优势 作为主线来一步步理清思路。
1、熵
我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：
其中n代表所有的n种可能性.
可以看出，一个事件的发生的概率离0.5越近，其熵就越大，概率为0或1就是确定性事件，不能为我们带信息量。也可以看作是一件事我们越难猜测是否会发生，它的信息熵就越大。
2、交叉熵
等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：
在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度。
3、交叉熵的由来 相对熵
将上面的交叉熵的公式减去一个固定的值（H(p), 训练样本的熵，训练样本定，该值即为固定值），即训练样本分布p(x)的熵，可得如下：
p(x)真实概率分布；q（x）由数据计算到的概率分布。使得q（x）逼近等于p（x）使得相对熵为0.
实际中 p(x)固定 故相对熵后半部分固定， 所以优化q（x）使交叉熵最小时相对熵也就最小。
最后得到的为相对熵或KL散度(Kullback-Leibler divergence), 亦可称为KL距离，是用于评判两个分布的差异程序，看到这里，应该明白为何交叉熵为何能作为loss了。即可以使得模型输出的分布尽量与训练样本的分布致，DKL的值越小，表示q分布和p分布越接近。
4、交叉熵作为loss的优势
模型训练的loss有很多，交叉熵作为loss有很多应用场景，其最大的好处我认为是可以避免梯度消散。