前向传播
如图所示，这里讲得已经很清楚了，前向传播的思想比较简单。
举个例子，假设上一层结点i,j,k,…等一些结点与本层的结点w有连接，那么结点w的值怎么算呢？就是通过上一层的i,j,k等结点以及对应的连接权值进行加权和运算，最终结果再加上一个偏置项（图中为了简单省略了），最后在通过一个非线性函数（即激活函数），如ReLu，sigmoid等函数，最后得到的结果就是本层结点w的输出。
最终不断的通过这种方法一层层的运算，得到输出层结果。
对于前向传播来说，不管维度多高，其过程都可以用如下公式表示：
其中，上标代表层数，星号表示卷积，b表示偏置项bias，σσ表示激活函数。
假设神经网络结构如下图所示：有2个输入单元；隐含层为2个神经元；输出层也是2个神经元，隐含层和输出层各有1个偏置。
为了直观，这里初始化权重和偏置量，得到如下效果：
----前向传播----
隐含层神经元h1的输入：
代入数据可得：
假设激励函数用logistic函数，计算得隐含层神经元h1的输出：
同样的方法，可以得到隐含层神经元h2的输出为：
对输出层神经元重复这个过程，使用隐藏层神经元的输出作为输入。这样输出层神经元O1的输出为：
代入数据：
输出层神经元O1的输出：
同样的方法，可以得到输出层神经元O2的输出为：
----统计误差----
假如误差公式为：
如上图，O1的原始输出为0.01，而神经网络的输出为0.75136507，则其误差为：
同理可得，O2的误差为：
这样，总的误差为：
反向传播算法(Back propagation)
BackPropagation算法是多层神经网络的训练中举足轻重的算法。简单的理解，它的确就是复合函数的链式法则，但其在实际运算中的意义比链式法则要大的多。要回答题主这个问题“如何直观的解释back propagation算法？” 需要先直观理解多层神经网络的训练。
机器学习可以看做是数理统计的一个应用，在数理统计中一个常见的任务就是拟合，也就是给定一些样本点，用合适的曲线揭示这些样本点随着自变量的变化关系.
深度学习同样也是为了这个目的，只不过此时，样本点不再限定为(x, y)点对，而可以是由向量、矩阵等等组成的广义点对(X,Y)。而此时，(X,Y)之间的关系也变得十分复杂，不太可能用一个简单函数表示。然而，人们发现可以用多层神经网络来表示这样的关系，而多层神经网络的本质就是一个多层复合的函数。借用网上找到的一幅图[1]，来直观描绘一下这种复合关系。
其对应的表达式如下：
上面式中的Wij就是相邻两层神经元之间的权值，它们就是深度学习需要学习的参数，也就相当于直线拟合y=k*x+b中的待求参数k和b。
和直线拟合一样，深度学习的训练也有一个目标函数，这个目标函数定义了什么样的参数才算一组“好参数”，不过在机器学习中，一般是采用成本函数（cost function），然后，训练目标就是通过调整每一个权值Wij来使得cost达到最小。cost函数也可以看成是由所有待求权值Wij为自变量的复合函数，而且基本上是非凸的，即含有许多局部最小值。但实际中发现，采用我们常用的梯度下降法就可以有效的求解最小化cost函数的问题。
梯度下降法需要给定一个初始点，并求出该点的梯度向量，然后以负梯度方向为搜索方向，以一定的步长进行搜索，从而确定下一个迭代点，再计算该新的梯度方向，如此重复直到cost收敛。那么如何计算梯度呢？
假设我们把cost函数表示为H(W11,W12,⋯,Wij,⋯,Wmn)H(W11,W12,⋯,Wij,⋯,Wmn),那么它的梯度向量[2]就等于∇H=∂H∂W11e11+⋯+∂H∂Wmnemn∇H=∂H∂W11e11+⋯+∂H∂Wmnemn, 其中eijeij表示正交单位向量。为此，我们需求出cost函数H对每一个权值Wij的偏导数。而BP算法正是用来求解这种多层复合函数的所有变量的偏导数的利器。
我们以求e=(a+b)*(b+1)的偏导[3]为例。
它的复合关系画出图可以表示如下：
在图中，引入了中间变量c,d。
为了求出a=2, b=1时，e的梯度，我们可以先利用偏导数的定义求出不同层之间相邻节点的偏导关系，如下图所示。
利用链式法则我们知道：
链式法则在上图中的意义是什么呢？其实不难发现，∂e/∂a的值等于从a到e的路径上的偏导值的乘积，而∂e/∂b的值等于从b到e的路径1(b-c-e)上的偏导值的乘积加上路径2(b-d-e)上的偏导值的乘积。也就是说，对于上层节点p和下层节点q，要求得∂p/∂q，需要找到从q节点到p节点的所有路径，并且对每条路径，求得该路径上的所有偏导数之乘积，然后将所有路径的 “乘积” 累加起来才能得到∂p/∂q的值。
大家也许已经注意到，这样做是十分冗余的，因为很多路径被重复访问了。比如上图中，a-c-e和b-c-e就都走了路径c-e。对于权值动则数万的深度模型中的神经网络，这样的冗余所导致的计算量是相当大的。
同样是利用链式法则，BP算法则机智地避开了这种冗余，它对于每一个路径只访问一次就能求顶点对所有下层节点的偏导值。
正如反向传播(BP)算法的名字说的那样，BP算法是反向(自上往下)来寻找路径的。
从 最上层的节点e开始，初始值为1，以层为单位进行处理。对于e的下一层的所有子节点，将1乘以e到某个节点路径上的偏导值，并将结果“堆放”在该子节点中。等e所在的层按照这样传播完毕后，第二层的每一个节点都“堆放”些值，然后我们针对每个节点，把它里面所有“堆放”的值求和，就得到了顶点e对该节点的偏导。然后将这些第二层的节点各自作为起始顶点，初始值设为顶点e对它们的偏导值，以”层”为单位重复上述传播过程，即可求出顶点e对每一层节点的偏导数。
以上图为例，节点c接受e发送的1*2并堆放起来，节点d接受e发送的1*3并堆放起来，至此第二层完毕，求出各节点总堆放量并继续向下一层发送。节点c向a发送2*1并对堆放起来，节点c向b发送2*1并堆放起来，节点d向b发送3*1并堆放起来，至此第三层完毕，节点a堆放起来的量为2，节点b堆放起来的量为2*1+3*1=5, 即顶点e对b的偏导数为5.
反向传播具体计算过程推导
为了方便起见，这里我定义了三层网络，输入层（第0层），隐藏层（第1层），输出层（第二层）。并且每个结点没有偏置（有偏置原理完全一样），激活函数为sigmod函数（不同的激活函数，求导不同），符号说明如下：
对应网络如下：
其中对应的矩阵表示如下
首先我们先走一遍正向传播，公式与相应的数据对应如下：
那么：
同理可以得到：
那么最终的损失为
我们当然是希望这个值越小越好。这也是我们为什么要进行训练，调节参数，使得最终的损失最小。这就用到了我们的反向传播算法，实际上反向传播就是梯度下降法中链式法则的使用。
下面我们看如何反向传播
根据公式，我们有：
这个时候我们需要求出C对w的偏导，则根据链式法则有：
同理有：
到此我们已经算出了最后一层的参数偏导了.我们继续往前面链式推导：
我们现在还需要求
下面给出一个推导其它全都类似
同理可得其它几个式子：
则最终的结果为：
再按照这个权重参数进行一遍正向传播得出来的Error为0.165
而这个值比原来的0.19要小，则继续迭代，不断修正权值，使得代价函数越来越小，预测值不断逼近0.5.我迭代了100次的结果，Error为5.92944818e-07（已经很小了，说明预测值与真实值非常接近了），最后的权值为：
bp过程可能差不多就是这样了，可能此文需要你以前接触过bp算法，只是还有疑惑，一步步推导后，会有较深的理解。
上面的算法 python代码实现如下：
#!/usr/bin/env python #coding:utf-8 import numpy as np def nonlin(x, deriv = False): if(deriv == True): return x * (1 - x) return 1 / (1 + np.exp(-x)) X = np.array([[0.35], [0.9]]) y = np.array([[0.5]]) np.random.seed(1) W0 = np.array([[0.1, 0.8], [0.4, 0.6]]) W1 = np.array([[0.3, 0.9]]) print 'original ', W0, '\n', W1 for j in xrange(100): l0 = X l1 = nonlin(np.dot(W0, l0)) l2 = nonlin(np.dot(W1, l1)) l2_error = y - l2 Error = 1 / 2.0 * (y-l2)**2 print 'Error:', Error l2_delta = l2_error * nonlin(l2, deriv=True) l1_error = l2_delta * W1 #back propagation l1_delta = l1_error * nonlin(l1, deriv=True) W1 += l2_delta * l1.T W0 += l0.T.dot(l1_delta) print W0, '\n', W1
参考文档：
1.http://blog.csdn.net/lhanchao/article/details/51419150
2.https://www.zhihu.com/question/39022858