最大权闭合子图

最大权闭合子图

定义

闭合图：在一个图(G=(V,E))中，若点集(V)中任意点连接的任意出弧，所指向的终点也在(V)中，则图(G)为闭合图。

对于一个有向图，每一个点都有一个权值(可以为正或负或0)，选择一个权值和最大的子图，满足子图中每个点的后继结点也在这个子图里，这个子图就叫最大权闭合子图。

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详解

解法：

1. 先抽象出源点、汇点；

2. 将权值为正的点和源点连接，边的容量为这个点的权值；

3. 将权值为负的点和汇点连接，边的容量为这个点权值的绝对值；

4. 然后除了源点、汇点之外的点原本怎么连就怎么连，且容量为无穷大；

5. 最大权闭合子图权值 = 所有权值为正的点权值之和 - 以上构建的流网络的最小割(也即最大流)

详细描述如下：

首先有一个有向连通图(G)，每个点带有一个权值，例如：

此时，构建一个源点(s)，一个汇点(t)，所有的点按权值的正负连接到(s)和(t)上，转换成一个边权值有向图，如下图：

可以得出以下性质：

1. 该流网络的最小割，是简单割；

   简单割：割集中所有的边，都与(s)或(t)相连接。

   显然的，因为不与连的边，权值都是INF，最小割不可能割在INF的边上；

2. 该图中的每一个简单割产生的两个子图，我们记含有源点(s)的是图(S)，(S)中属于原图(G)的结点和边(即去掉(s)和与(s)相连的边)构成图(S')，含有汇点(t)的是图(T)，(T)中属于原图(G)的结点和边(即去掉(t)和与(t)相连的边)构成图(T')，则图(S')是闭合图；

   证明：① 简单割内不包含边权为INF的边，即割边不含有连通(S')和(T')的边；

   　　　② 流网络的割令图(S)中没有边与图(T)连通，又(S'in S, T'in T)，则图(S')中没有边与图(T')连通；

   　　　那么，图(S')所有的边都只能连接在(S’)之内，即为闭合图。

   样例：
   
   

   上图中，图(S)去掉(s)和容量为7的边即为图(S')，图(T)去掉(t)和容量为6的边即为(T')，显然图(S')为原图(G)的一个闭合子图。

3. 最小割产生的图(S')为原图(G)的最大权闭合子图；

   我们记割集中，所有连接在(s)上的边的权值和为(x_1)，所有连接在(t)上的边的权值和为(x_2)，而割集中所有边权值和为(X=x_1+x_2)；记图(S')中所有点的权值和为(W)，记其中正权值之和为(w_1)，负权值之和为(-w_2)，故(W = w_1 - w_2)；

   则 (W + X = w_1 - w_2 + x_1 + x_2)，由于(x_2 = w_2)（因为图(S')中所有负权值的点，必然连接到(t)点，而图(S')必然要与(t)分割开；故“割集中连接在(t)点上的边权值和”就是“图(S')中所有负权值点的权值之和取负”），因而(W + X = w_1 + x_1)；

   显然的，(w1 + x1)是整个图(G)中所有正权值之和，记为(sum)，故(W=sum - X)，即 “图(S')中所有点的权值和” = “整个图(G)中所有正权值之和” - “割集中所有边权值和”；

   由于(sum)为定值，只要我们取最小割，则“图(S')中所有点的权值和”就是最大的，即此时图(S')为图(G)的最大权闭合子图；

最后，我们就有了求解这类问题的完整思路：

　　① 先记录整个图中，所有正点权值的和；

　　② 根据问题模型建立对应流网络，求最大流，最大流在数值上等于最小割，故我们得到了流网络的最小割；

　　③ “所有正点权值的和”减去“流网络的最小割”，即得最大权闭合子图的权值和。




修改自https://www.cnblogs.com/dilthey/p/7565206.html