差分约束系统
差分约束系统 是一种特殊的 $n$ 元一次不等式组，它包含 $n$ 个变量 $x_1,x_2,...,x_n$ 以及 $m$ 个约束条件，每个约束条件是由两个其中的变量作差构成的，形如 $x_i-x_jleq c_k$ ，其中 $c_k$ 是常数（可以是非负数，也可以是负数）。我们要解决的问题是：求一组解 $x_1=a_1,x_2=a_2,...,x_n=a_n$ ，使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。
差分约束系统中的每个约束条件 $x_i-x_jleq c_k$ 都可以变形成 $x_i leq x_j + c_k$ ，这与单源最短路中的三角形不等式 $dist[y]leq dist[x]+z$ 非常类似。因此，我们可以把每个变量 $x_i$ 看作图中的一个结点，对于每个约束条件 $x_i-x_jleq c_k$ ，从结点 $j$ 向结点 $i$ 连一条长度为 $c_k$ 的有向边。
设 $dist[0]=0$ 并向每一个点连一条边，跑单源最短路，若图中存在负环，则给定的差分约束系统无解，否则，$x_i=dist[i]$ 为该差分约束系统的一组解。
注意到，如果 ${a_1,a_2,...,a_n}$ 是该差分约束系统的一组解，那么对于任意的常数 $d$ ，${a_1+d,a_2+d,...a_n+d}$ 显然也是该差分约束系统的一组解，因为这样作差后 $d$ 刚好被消掉。
一般使用 Bellman-Ford 或队列优化的 Bellman-Ford（俗称 SPFA ，在某些随机图跑得很快）判断图中是否存在负环，最坏时间复杂度为 $O(nm)$。
BFS-SPFA 与 DFS-SPFA 的优劣
SPFA 有 BFS 和 DFS 两种实现方式，如果仅仅要判断是否存在负环，DFS-SPFA 要比 BFS-SPFA 快上很多。但是在没有负环时要求出解，DFS-SPFA 会比 BFS-SPFA 慢很多。
题意：求解差分约束系统，有 $m$ 条约束条件，每条都为形如 $x_a-x_bgeq c_k$，$x_a-x_bleq c_k$ 或 $x_a=x_b$ 的形式，判断该差分约束系统有没有解。
$ egin{array}{|c|c|c|} hline ext{题意} & ext{转化} & ext{连边} \ hline x_a-x_bgeq c & x_b-x_aleq -c & add\_edge(a, b, -c) \ hline x_a-x_bleq c & x_a-x_bleq c & add\_edge(b, a, c) \ hline x_a=x_b & x_a-x_bleq 0,x_b-x_aleq 0 & add\_edge(a, b, 0),add\_edge(b, a, 0) \ hline end{array} $
按表格描述连边建图后，跑 SPFA 判断是否存在负环即可。
BFS-SPFA 开 O2 优化才能通过，否则 TLE ：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <queue> using std::queue; const int INF = 0x3f3f3f3f; const int N = 10010; struct Edge { int to, nex, val; } edge[N<<1]; int head[N], tot; bool inq[N]; int dist[N], cnt[N]; void init() { tot = 0; memset(head, 0, sizeof(head)); } void add_edge(int u, int v, int w) { edge[++tot].nex = head[u]; edge[tot].to = v; edge[tot].val = w; head[u] = tot; } bool bfs_spfa(int s, int n) { memset(inq, 0, sizeof(inq)); memset(dist, 0x3f, sizeof(dist)); queue<int> que; que.push(s); inq[s] = true; cnt[s] = 0; dist[s] = 0; while (!que.empty()) { int u = que.front(); que.pop(); inq[u] = false; for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nex) { int v = edge[i].to; if (dist[v] > dist[u] + edge[i].val) { cnt[v] = cnt[u] + 1; if (cnt[v] > n) return false; dist[v] = dist[u] + edge[i].val; if (!inq[v]) { inq[v] = true; que.push(v); } } } } return true; } int main() { int n, m; while (~scanf("%d %d", &n, &m)) { init(); while (m--) { int op, u, v, w; scanf("%d %d %d", &op, &u, &v); if (op != 3) scanf("%d", &w); switch(op) { case 1: add_edge(u, v, -w); break; case 2: add_edge(v, u, w); break; case 3: add_edge(u, v, 0); add_edge(v, u, 0); } } for (int i = 1; i <= n; i++) add_edge(0, i, 0); if (!bfs_spfa(0, n)) puts("No"); else puts("Yes"); } return 0; }
DFS-SPFA 只要几毫秒：
#include <cstdio> #include <cstring> const int INF = 0x3f3f3f3f; const int N = 10010; struct Edge { int to, nex, val; } edge[N<<2]; int head[N], tot; bool vis[N]; int dist[N]; void init() { tot = 0; memset(head, 0, sizeof(head)); memset(vis, 0, sizeof(vis)); memset(dist, 0x3f, sizeof(dist)); } void add_edge(int u, int v, int w) { edge[++tot].nex = head[u]; edge[tot].to = v; edge[tot].val = w; head[u] = tot; } bool dfs_spfa(int x) { vis[x] = true; for (int i = head[x]; i; i = edge[i].nex) { int y = edge[i].to, w = edge[i].val; if (dist[y] > dist[x] + w) { dist[y] = dist[x] + w; if (vis[y] || !dfs_spfa(y)) return false; } } vis[x] = false; return true; } int main() { int n, m; while (~scanf("%d %d", &n, &m)) { init(); while (m--) { int op, u, v, w; scanf("%d %d %d", &op, &u, &v); if (op != 3) scanf("%d", &w); switch(op) { case 1: add_edge(u, v, -w); break; case 2: add_edge(v, u, w); break; case 3: add_edge(u, v, 0); add_edge(v, u, 0); } } for (int i = 1; i <= n; i++) add_edge(0, i, 0); dist[0] = 0; if (!dfs_spfa(0)) puts("No"); else puts("Yes"); } return 0; }
参考资料：OI Wiki