ZOJ-4028 LIS (差分约束)

题目链接：ZOJ-4028 LIS

题意

有一个长度为 (n (1le n le 10^5)) 的序列 (a)，对于所有的 (iin [1,n]) ，已知 (f_i, l_i, r_i) ，代表序列 (a) 中末尾元素为 (a_i) 的最长上升子序列长度为 (f_i) ，且 (l_i le a_i le r_i) ，求序列 (a) 。

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思路

找出 (a_i) 的所有约束条件：

1. 记 (i') 为 (i) 前面满足 (f_{i'}=f_i) 的离 (i) 最近的位置，(a_i) 的值需要满足 (a_i le a_{i'}) ;
2. 记 (i'') 为 (i) 前面满足 (f_{i''}+1=f_i) 的离 (i) 最近的位置，(a_i) 的值需要满足 (a_i>a_{i''}) ;
3. (l_ile a_ile r_i) 。

知道了每个 (a_i) 的约束条件，可以用差分约束求解（用 (e(u,v,w)) 代表从 (u) 到 (v) 权值为 (w) 的有向边）：

1. (a_ile a_{i'}) 可变形为 (a_ile a_{i'}+0) ，连边 (e(i',i,0)) ;
2. (a_i>a_{i''}) 可变形为 (a_{i''}le a_i-1) ，连边 (e(i,i'',-1)) ;
3. 新增一个源点 (s)，令 (a_s=0) 。(l_ile a_ile r_i) 可变形为 (a_sle a_i-l_i, a_ile a_s+r_i) ，连边 (e(i,s,-l_i), e(s,i,r_i)) 。

建完图跑差分约束即可。

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代码实现

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using std::queue;
typedef long long LL;
const int maxn = 100010;
int head[maxn], tot;
LL dist[maxn];
int f[maxn], last[maxn];
bool inq[maxn];
struct Edge{
    int to, nex, val;
} edge[maxn<<2];
void add_edge(int u, int v, int w) {
    edge[++tot].nex = head[u];
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].val = w;
    head[u] = tot;
}
void bfs_spfa(int s, int n) {
    memset(inq, 0, sizeof(bool) * (n+5));
    memset(dist, 0x3f, sizeof(LL) * (n+5));
    queue<int> que;
    que.push(s);
    inq[s] = true;
    dist[s] = 0;
    while (!que.empty()) {
        int u = que.front();
        que.pop();
        inq[u] = false;
        for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nex) {
            int v = edge[i].to;
            if (dist[v] > dist[u] + edge[i].val) {
                dist[v] = dist[u] + edge[i].val;
                if (!inq[v]) {
                    inq[v] = true;
                    que.push(v);
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld%c", dist[i], " 
"[i==n]);
}

int main() {
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d", &n);
        memset(last, 0, sizeof(int) * (n+5));
        memset(head, 0, sizeof(int) * (n+5));
        tot = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &f[i]);
            if (last[f[i]]) add_edge(last[f[i]], i, 0);
            if (f[i] > 1) add_edge(i, last[f[i]-1], -1);
            last[f[i]] = i;
        }
        for (int i = 1, l, r; i <= n; i++) {
            scanf("%d %d", &l, &r);
            add_edge(0, i, r);
            add_edge(i, 0, -l);
        }
        bfs_spfa(0, n);
    }
    return 0;
}