《动态规划_入门 LIS 问题 》

问题描述

问题 A: 最长上升子序列

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题目描述

一个数列ai如果满足条件a1 < a2 < ... < aN，那么它是一个有序的上升数列。我们取数列(a1, a2, ..., aN)的任一子序列(ai1, ai2, ..., aiK)使得1 <= i1 < i2< ... < iK <= N。例如，数列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)的有序上升子序列，像(1, 7)， (3, 4, 8)和许多其他的子序列。在所有的子序列中，最长的上升子序列的长度是4，如(1, 3, 5, 8)。

    现在你要写一个程序，从给出的数列中找到它的最长上升子序列。

输入

输入包含两行，第一行只有一个整数N（1 <= N <= 1000），表示数列的长度。

第二行有N个自然数ai，0 <= ai <= 10000，两个数之间用空格隔开。

输出

输出只有一行，包含一个整数，表示最长上升子序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

4





解题思路:   
　

思路：

　　1.定义长度为n的dp数组，dp[i]表示为arr[i]结尾的最长递增子序列的长度。

　　2.对于第一个数arr[0]来说dp[0]=1,依次求出以i结尾的最长递增子序列

　　3.对于dp[i],求arr[i]结尾的最长递增子序列，在arr[0..i-1]中选出比arr[i]小且长度最长的

　　dp[j] , dp[i] = Math.max( dp[0…i-1] , dp[i] );如果所有的 dp[0…i-1] 都比 dp[i] 大，则 dp[i]=1;

　　所有的结果求出来后 遍历 dp数组，从dp数组中查找到最大的数值:

Java 实现代码

　　

import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static int longestIncreasingSubsequence(int array[]) {
        // 判断数组是否为空，或者长度是否为 0
        if (array.length == 0 || array == null) {
            return 0;
        }
        int len = array.length;

        // 新申请一个数组，用来存放第 i 个位置的 最长公共子串是多少
        int[] dp = new int[len];
        // 最少能保证 第一个长度为1
        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j++) {

                if (array[i] > array[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }

        }

        int longest = Integer.MIN_VALUE;

        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            longest = Math.max(dp[i], longest);
        }
        return longest;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        while (cin.hasNext()) {
            int n = cin.nextInt();
            int array[] = new int[n];

            for (int i = 0; i < n; i++) {
                array[i] = cin.nextInt();
            }

            int result = longestIncreasingSubsequence(array);
            System.out.println(result);
        }
    }

}