排序和顺序统计学(1)——堆排序

　　也有好几天没记录算法学习情况了，这两天看了《算法导论》的第二部分，排序和顺序统计学，记录一下，也顺便增强记忆

1.堆排序

　　就是最大堆和最小堆，用一维数组存储，数据结构是完全二叉树。主要过程分为构建最大/最小堆，插入操作，弹出最大值，取最大/最小值，改变堆中的权值。

　　构建堆就是从第一个非叶子节点开始，倒数到第一个节点，对于每个节点执行以下函数（最大堆为例）：

void heapify(int x)
{
int largest;
if (x*2<=heapsize&&a[x] > a[x * 2]) largest = x;
else largest = x * 2;
if (x*2+1<=heapsize&&a[x * 2 + 1]>a[largest]) largest = x*2+1;
if(x!=largest)
{
swap(a[largest],a[x]);
heapify(largest);
}
}

　　对于每一个节点i,将它与它的两个子节点i*2和i*2+1进行比较，将最大元素放在三者中的父亲节点，并对之前存放最大元素的节点递归式用该函数，即可构建最大堆。时间复杂度为O(nlgn)，对于每个元素，递归式用该函数的最大深度为lgn，每次递归时间复杂度为常数级，共对n/2个节点执行该函数，因此时间复杂度应为n/2*a*lgn，1/2及a都是常数，略去即得O(nlgn)

　　取最值：将堆顶元素取出即可，时间复杂度为O(1)

　　改变值操作：书中所说为increase函数，即对于最大堆来说，只有当值增大的时候才对其改变并进行操作，否则不进行操作。操作如下：将当前元素与他的父亲节点进行比较，若比父亲节点大则互换：

void increase(int pos,int x)
{
if(a[pos]<x)
{
a[pos] = x;
while(pos>1&&a[pos]>a[pos/2])
{
swap(a[pos],a[pos/2]);
pos = pos/2;
}
}
}//将x替换pos位置的元素

其实对于最大堆，当x<a[pos]时也是可以的，只要将调用increase函数改为调用heapify函数即可。（个人理解）

　　添加值：数组长度++，并将数组末尾元素设为负无穷，对该元素调用函数increase(length[a],x)，length[a]为数组a的长度，x为要插入数的大小。

　　弹出最大值：即取最大值+删除堆顶元素。将堆顶元素与数组末尾元素互换，并对堆顶元素进行heapify操作即可

　　输出堆排序结果：循环length[a]次弹出最值。

以上为堆排序的各种操作。