【待字闺中】最少插入字符

题目

给定字符串，可以通过插入字符，使其变为回文。求最少插入字符的数量。

例如：

1.ab最少插入1个字符，变为*b*ab

2.aa最少插入0个字符

3.abcd最少插入3个字符，*dcb*abcd

思路：

给出递归的解法，发现重复的子问题，然后改进算法，用动态规划。

https://gist.github.com/sing1ee/a97b21fd50a0ae90e62b#rd

这个题目的分析思路，和前面两期是非常相似的：给出递归的解法，发现重复的子问题，改进为动态规划的解法，这是一个分析的过程，待同学们比较熟悉时候，可以直接给出动态规划的解决方案，就很好了。

这个题目，递归该如何解呢？给定一个字符串str，长度为n，怎么插入最少的字符，是的字符串变为回文呢？插入最少的字符，就是要尽量利用原来的字符，在原字符串str中，尽量利用更多能够匹配的字符。怎么对这个问题进行分解呢？考虑str字符串整体：

1. 如果str[0]==str[n-1]，则问题转变为求str[1,n-2]，插入最少字符，得到回文
2. 如果str[0]!=str[n-1]，则需要插入一个字符要么和str[0]相同，要么和str[n-1]相同，
   1. 如果和str[0]，则转变为str[1,n-1]，插入最少字符，得到回文
      1. 如果和str[n-1]，则转变为str[0,n-2]，插入最少字符，得到回文

上面的第2种情况中，需要取两个值最小值。则完成了问题的分解，并且，基本情况也分析完全，则有递归式为：

fmi(str, l, h) = (str[l] == str[h]) ? fmi(str, l+1, h-1) : (min(fmi(str, i+1, h), fmi(str,l, h-1))+1)

通过上面的式子，有经验的、熟练的同学，很直接的就能看出来，存在重复的子问题，这就意味着，我们可以讲子问题的解缓存使用。如果，没有直接能够看出来的同学们，还是可以按照我们之前的方法，把递归树画出来吧，那样更加一目了然。

那么，这个题目该如何用动态规划的解决呢？如何重复利用子问题的解呢？似乎有些不那么直接。但其实也是于规律可循的。上面的递归式，是从字符串的两边，想中间移动递归，根据动态规划解决问题的思想，我们先解决子问题，再重复利用子问题，就是要从内向外解决，大家还记得回文子串判断的那个题目么，动态规划解法的外层循环是子串的长度，这个题目也是类似的。示例代码如下：

int fmiDP(char str[], int n)
{
    //二维数组保存子问题的解，table[i][j]表示str[i,j]转换为回文，需要插入的最少字符数。
    int table[n][n], l, h, gap;

    memset(table, 0, sizeof(table));

    // 外层循环，gap从小到大
    for (gap = 1; gap < n; ++gap)
        for (l = 0, h = gap; h < n; ++l, ++h)
            table[l][h] = (str[l] == str[h])? table[l+1][h-1] :
                          (min(table[l][h-1], table[l+1][h]) + 1);
    return table[0][n-1];
}

这个题目在使用动态规划解的时候，略有点儿绕，不太好想到如何利用子问题的解。这个没有更好的方法，就是多多积累，遇到问题勤于思考，举一反三。

【分析完毕】