欧拉公式详解-震惊，小学生也能看懂？

@

目录

• 欧拉公式
  • 前言
  • 前置知识
    • 幂法则
      • 证明
    • 加法则
    • 积法则
      • 证明
    • 链式法则
      • 证明
    • 通过幂法则、链式法则推到商法则
    • 三角函数的导数
      • 证明
    • 高阶导数
    • 继续
      • 指数函数求导
        • 尝试求导
        • e的出现
        • a^x的导数
      • 隐函数求导
  • 泰勒级数
    • 由来
    • 麦克劳林展开式
  • 本文正题

欧拉公式

前言

今天博主在b站上看完了一个视频。此视频介绍了欧拉从定义(pi)、以欧拉命名、伯努利发明的数(e)、(sin)和(cos)以及(e^i)、(e)的泰勒展开式以及虚数(i)。
这是一篇学习笔记，有错误的话，感谢评论里指出。

前置知识

幂法则

如果(f(x)=x^n)，那么(f'(x)=nx^{n-1})

证明

新的函数值是(f(x+mathrm{d}x)=(x+mathrm{d}x)^n=(x+mathrm{d}x)(x+mathrm{d}x)(x+mathrm{d}x)cdots(x+mathrm{d}x))
可以由二项式定理得到

[(x+mathrm{d}x)^n=sum^{n}_{i=0}left(egin{array}{c}i\ nend{array} ight)x^{n-i}(mathrm{d}x)^i=left(egin{array}{c}0\ nend{array} ight)x^n+left(egin{array}{c}1\ nend{array} ight)x^{n-1}mathrm{d}x+left(egin{array}{c}2\ nend{array} ight)x^{n-2}(mathrm{d}x)^2cdots ]

[df=f(x+mathrm{d}x)-f(x)=x^{n-1}mathrm{d}x+x^{n-2}(mathrm{d}x)^2cdots ]

[frac{df}{dx}=x^{n-1}+frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}dx+frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-2}dxcdots ]

因为(dx)趋向(0),所以可以忽略含有(dx)的项,(frac{df}{dx}=x^{n-1})

加法则

两个函数(f(x))、(g(x))，那么((f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x))

积法则

两个函数(f(x))、(g(x))，那么((f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x))

证明

由于相乘想到面积来可视化过程，设一个矩形长宽分别为(f(x))、(g(x))，设(h(x)=(f(x)g(x))')
如图所示：

显然增加的面积就是三块有颜色面积的小矩形，绿红黄他们的面积之和为：

[f(x)mathrm{d}(g(x))+g(x)mathrm{d}(f(x))+mathrm{d}(f(x))mathrm{d}(g(x))=h'(x)mathrm{d}xRightarrow ]

[f(x)g'(x)mathrm{d}x+g(x)f'(x)mathrm{d}x+g'(x)mathrm{d}xf'(x)mathrm{d}x=h'(x)mathrm{d}x ]

那么(frac{h'(x)}{dx}=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+g'(x)f'(x)mathrm{d}x)
发现尾项与(mathrm{d}x)有关，当(mathrm{d}x)趋向(0)的时候可以忽略。

链式法则

两个函数(f(x))、(g(x))，那么(f'(g(x))=f'(g(x))g'(x))，也就是(frac{mathrm{d}f}{mathrm{d}x}=frac{mathrm{d}f}{mathrm{d}g}frac{mathrm{d}g}{mathrm{d}x})

证明

当(x)变化量为(dx)的时候,(g)函数变化量是(mathrm{d}(g(x)))。
(f)函数的变化量为：

[mathrm{d}(f(g(x)))=f'(g(x))mathrm{d}(g(x))=f'(g(x))g'(x)mathrm{d}xRightarrow frac{mathrm{d}(f(g(x))}{mathrm{d}x}=f'(g(x))g'(x) ]

最后一步是由导数的定义得来的。

通过幂法则、链式法则推到商法则

三角函数的导数

(sin'(x)=cos(x))
(cos'(x)=-sin(x))

证明

高阶导数

(f^{(n)}(x))指的是(f(x))的(n)阶导数。我自己的理解：描述(f(x))的变化函数是(f'(x))，描述(f'(x))的变化函数(f''(x))，也就是(f^{(n)})的变化受到(f^{(n+1)})的控制，如果控制(f^1)、(f^2)···他们的函数都相等，那么"理论上"这两个函数是相等的。下面泰勒级数就用到这个思想。

继续

指数函数求导

尝试求导

(M(t)=2^t)

[frac{mathrm{d}M}{mathrm{d}t}=frac{2^{t+mathrm{d}t}-2^t}{mathrm{d}t}=2^tunderbrace{(frac{2^{mathrm{d}t}-1}{mathrm{d}t})}_{dt o0} ]

(frac{2^{mathrm{d}t}-1}{mathrm{d}t})趋向于一个常数(0.69314718056cdots)
同样函数(M(t)=3^t)同样的方法，后半部分将趋向于(1.09861228867cdots)
(M(t)=8^t o 2.07944154168cdots)
(1.09861228867cdots{ imes3}=2.07944154168cdots)
从指数上(8=2^3)，说明这个常数是对于对某个数求对数函数得到的。
有没有哪个底数能是的这个系数为(1)呢？
即((a^t)'=a^t)？

e的出现

这个底数就是(e=2.71828cdots)

a^x的导数

由上面得到((a^x)'=a^xln(a))
(frac{d(e^{ct})}{mathrm{d}t}=ce^{ct})，(c)是常数，由复合函数求导。
所有指数函数(a)写作(e^{ln(2)})
代入上式得到：(a^x=e^{ln(a)t})

隐函数求导

圆的方程式(x^2+y^2=r)，这很显然，如果我们要对它求导怎么办？此时输入一个(x)不一定输出一个(y)。很显然这个函数是可以求导的，也就是求((x,y))这个坐标的斜率。

泰勒级数

由来

一个函数可以写成(f(x)=sum^n_{i=0}{a_ix^i}=a_0+a_1x_1+a_2x_2+cdots)
在高阶导数的时候说过，如果两个函数每一阶导数都相等，那么"理论上"两个函数是相等的。
因为我们有(cos'(x)=-sin(x))、(cos''(x)=-cos(x))、(cos'''(x)=sin(x))、(cos''''(x)=cos(x))
此后就是(-sin(x))、(-cos(x))、(sin(x))、(cos(x))循环，求导次数(x)，其(x mod 4=1),(2),(3),(0)的时候分别对应这四个。
(cos(0)=1Rightarrow f(x)=a_0+sum_{i=1}^n{a_icdot0}=a_0=1)
(cos'(0)=0Rightarrow f'(x)=1cdot a_1+sum_{i=2}^n{(i-1)a_icdot0}=1!cdot a_1=0)
(cos''(0)=-1Rightarrow f''(x)=1cdot2cdot a_2+sum_{i=3}^n{(i-1)cdot(i-2)a_i}=2!cdot a_2=-1)
(cos'''(0)=0Rightarrow f'''(x)=1cdot2cdot3 a_3+sum_{i=4}^n{(i-1)cdot(i-2)cdot(i-3)a_i}=3!cdot a_3=0)
(cos''''(0)=1Rightarrow f''''(x)=1cdot2cdot3cdot4 a_4+sum_{i=5}^n{(i-1)cdot(i-2)cdot(i-3)cdot(i-4)a_i}=4!cdot a_4=1)

可以发现规律了，假设取了(i)次导数，且有(i=2n)。

• (n)是奇数有：(i!cdot a_i=-1Rightarrow a_i=-frac{1}{i!})

• (n)是偶数有：(i!cdot a_i=1Rightarrow a_i=frac{1}{i!})

也就是(cos(x)=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+frac{x^4}{8!}-cdots)
同样的思路可以证明(sin(x)=sum^{infty}_{i=2n+1,nin N}{(-1)^nfrac{x^i}{i!}}=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+cdots)

证明(e^x=cdots)比这更容易，根据定义((e^x)'=e^x)，重复上述过程即可。

麦克劳林展开式

(e^x=sum^infty_{i=0}{frac{x^i}{i!}}=1+frac{x^1}{1!}+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+frac{x^4}{4!}+cdots)
(sin(x)=sum^{infty}_{i=2n+1,nin N}{(-1)^nfrac{x^i}{i!}}=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+cdots)
(cos(x)=sum^{infty}_{i=2n,nin N}(-1)^nfrac{x^i}{i!}=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+cdots)

本文正题

(e^{ix}=1+frac{(ix)^1}{1!}+frac{(ix)^2}{2!}+frac{(ix)^3}{3!}+frac{(ix)^4}{4!}+frac{(ix)^5}{5!}=1+frac{ix}{1!}-frac{x^2}{2!}-frac{ix^3}{3!}+frac{x^4}{4!}+frac{ix^5}{5!}-cdots)

把带有(i)的提出来有：

(e^{ix}=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+cdots+i(x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!})=cos(x)+i imes sin(x))

当(x=pi)的时候

(e^{ipi}=cos(pi)+i imes sin(pi)=-1)

所以(e^{ipi}+1=0)