GHOJ 478 棋子

题目描述

　　小Z在家闲得无聊，摆弄起了围棋棋子。也许是小Z有自虐倾向，他出了个难题给自己，结果竟然把自己难住了。你作为他的朋友，决定帮助他解决难题。

　　有一个m×n的棋盘，需要在上面摆满黑白棋子。小Z有一个奇怪的规则：如果有两个棋子相邻（上下左右），且一白一黑。则黑的必须在上面（或左边）。黑白棋子都是足够多的。小Z想知道共有多少种不同的摆法（只要略有不同就算一种）。

输入格式

　　一行，包括两个正整数m和n。

输出格式

　　一行，包括一个正整数ans，表示共有多少种不同的摆法。

 

输入样例

2 2

输出样例

6

样例说明

　　6种摆法分别为：

　　oo | ×× | ×× | ×o | ×× | × o

　　oo | ×× | o o | ×o | × o | o o

　　（×表示黑子，o表示白子）

数据规模

　　对于50%的数据满足，2≤m，n≤16；

　　对于100%的数据满足，2≤m，n≤30。

题解

　　我们设$dp[i][j]$为$(i,j)$到$(m,n)$范围内的矩形的方案数。

　　容易想到$dp[m][n] = 2$（一黑一白）。

　　这里也可以推得边界$dp[i][n] = dp[i + 1][n] + 1,dp[m][j] = dp[m][j + 1] + 1$，意思是开头加上一个黑色棋子的情况加上全部都是白棋子的情况。

　　这里先给出普遍的公式$dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j + 1] + 1$。

　　“$dp[i + 1][j]$”表示第$i$行全放上黑棋子，“$dp[i][j + 1]$”表示第$j$列全放上黑棋子。

　　为什么是全放上呢？其实第$i$行（第$j$列）放一部分黑和放一部分白的情况已经包含在$dp[i][j+ 1]$（$dp[i + 1][j]$）里了。

　　可以发现按照上面的说法，统计了$2$次全是黑棋的情况，但是又没有统计全是白棋的情况，所以“$+1$”和“$-1$”相互抵消了。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#define MAXM 32
#define MAXN 32

using namespace std;

int m, n;
long long f[MAXM][MAXN];

int main()
{
    cin >> m >> n;    
    f[m][n] = 1;
    for(register int i = m - 1; i >= 1; i--)
    {
        f[i][n] = f[i + 1][n] + 1;
    }
    for(register int j = n - 1; j >= 1; j--)
    {
        f[m][j] = f[m][j + 1] + 1;
    }
    for(register int i = m - 1; i >= 1; i--)
    {
        for(register int j = n - 1; j >= 1; j--)
        {
            f[i][j] = f[i][j + 1] + f[i + 1][j] + 1;
        }
    }
    cout << f[1][1] + 1;
    return 0;
}