Luogu P2512 糖果传递

题目大意

  有(n)个小朋友坐成一圈（(1 leq n leq 1000000)），每人有(a_i)个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为(1)。求最小代价。

 

题解

  环形实际上就是(n)种链形。（证明见下）
  我们先考虑第(1)到(n)个小朋友形成链形的情况。
  我们设

[s_i = sum_{j = 1}^{i} (a_i - overline{a}) ]

  则此时对于每个(i)，第(i)个小朋友传递的代价是(s_i)。
  此时我们再回到环形，如果我们在第(k)个小朋友处拆成链形，则当(i geq k)时，第(i)个小朋友传递的代价为

[| s_i - s_k | ]

  当(i < k)时，第(i)个小朋友传递的代价为

[| s_i + s_n - s_k | ]

  根据我们前面的定义，可以得到，(s_n)恒为(0)。
  所以当(i < k)时，第(i)个小朋友传递的代价也为

[| s_i - s_k | ]

  所以总代价为

[sum_{i = 1}^{n} | s_i - s_k | ]

  根据贪心策略，显然这里的(s_k)应为({ s_i })中的中位数，排序处理一下即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>

#define MAX_N (1000000 + 5)
#define SIZE (1 << 21)

#define abs(x) ((x) >= 0 ? (x) : -(x))
#define Getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = fr) + fread(fr, 1, SIZE, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)

using namespace std;

char fr[SIZE], * p1 = fr, * p2 = fr;

void Read(int & num)
{
    num = 0;
    char ch = Getchar();
    while (!isdigit(ch)) ch = Getchar();
    while (isdigit(ch)) num = num * 10 + ch - '0', ch = Getchar();
    return;
}

int n;
int a[MAX_N];
int s[MAX_N];
long long ans;

int main()
{
    Read(n);
    long long tmp = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    	Read(a[i]);
    	tmp += a[i];
    }
    tmp /= n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    	s[i] = s[i - 1] + a[i] - tmp;
    }
    sort(s + 1, s + n + 1);
    tmp = s[n >> 1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    	ans += abs(s[i] - tmp);
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}

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终于把坑填上了。。。
证明：
设 (d_i) 为 (i) 向 (i+1) 传递的数量，显然 (a_i + d_{i-1} - d_{i} = overline{a}) 即 (d_{i-1} = overline{a} - a_i + d_{i}) 。
则 (d_i = sumlimits_{j=i+1}^{n}(overline{a} - a_j) + d_n) 。
令 (s_i = sumlimits_{j=i}^{n}(overline{a} - a_j)) 。
则 (d_i = s_{i+1} + d_n) 。
则 (ans = sumlimits_{i=1}^{n} |d_i| = sumlimits_{i=1}^{n}left|s_{i+1} + d_n ight|) 。
当 (d_n = -s_{ ext{medium}}) 时 (ans) 最小。（这个容易证明吧）
所以一定存在一个 (d_i = 0) ，此时就在 (i) 和 (i+1) 中间拆开变成链即可。
话说证出来之后顺便就把题做完了啊。。。。