中国剩余定理的应用

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一、中国剩余问题：

对方程组

     x≡a_i（mod n_i） i=1,2,3……

求解x的问题。

   结合拓展欧几里得算法我们可以知道

对于一个同余方程

            x≡a（mod n）等价于  x+ny=a

利用拓展欧几里得算法可以将其解出

对于方程组很容易想到求 解的交集 的方法

对于两个方程

             x≡a1 (mod m1);

             x≡a2 (mod m2);

令 x=m1*k+a1……①

   则有 m1*k+a1≡a2 (mod m2);

   可以得到 k*m1≡(a2-a1) (mod m2)

   可以用欧几里得算法求出k0=x0*((a2-a1)/gcd(m1,m2)) mod m2;

   k=k0+i*(m2/gcd(m1,m2));i=0,1,2……(注意 这里要使k有解 必满足 gcd(m1,m2)|(a2-a1))

   有k≡k0 (mod m2/gcd(m1,m2))  

   即k=(m2/gcd(m1,m2))*t+k0;代入式①

   有x=[m1,m2]*t+m1*k0+a1;([m1,m2]为m1 和 m2 的最小公倍数)

   则可重新构造同余方程

            x≡(m1*k0+a1) (mod [m1,m2])

   再用新的方程联立下一个 最后得到的（m1*k0+a1）即为方程组的解。

   代码

   

__int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y)//拓展欧几里得,返回gcd（a，b）
{
    __int64 r;
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    r=exgcd(b,a%b,x,y);
    __int64 t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
__int64 build(__int64 &x1,__int64 &y1,__int64 x2,__int64 y2)
{
    __int64 k,x,y,d;
    d=exgcd(y1,y2,x,y);
    if((x2-x1)%d) return -1;
    k=(x*(x2-x1)/d)%y2;
    if(k<0) k+=y2;
    __int64 lcd;
    if(y1%y2 && y2%y1) lcd=y1*y2/d;
    else lcd=y1>y2?y1:y2;           //lcd为y1,y2的最小公倍数
    x1=(y1*k+x1)%lcd;y1=lcd;
    return x1;
}

   下面讨论的是中国剩余定理更多的应用:

  

   二、利用中国剩余定理的计算机算术运算（待完善）

参考书目：《算法导论》、《初等数论及其应用》