网络流24题（06）最长递增子序列问题（最多不相交路径 + 最大流）

题意：

给定正整数序列 x1 ,... , xn 。

（1）计算其最长递增子序列的长度s。（严格递增）

（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。

（3）如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn，则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。

思路：

1. 可以抽象为求一张有向无环图的最多不相交路径，使得这些路径长度一样，且满足严格单调增的特性;

2. 构图比较巧妙：把每个点 i 拆分成 <i,a>, <i,b> 。假设最长上升子序列长度为 K. d[i] 表示从 i 开始到 n 最长上升子序列长度;

   a. 由 s 向所有 d[i] = k 的 <i,a> 引弧，容量为 1，所有 d[i] = 1 的 <i, b> 向 t 引弧，容量为 1;

   b. <i,a> 向 <i,b> 引弧，容量为 1. 当 i < j, 如果存在 d[i] == d[j] + 1 && seq[i] < seq[j] 时，由 <i,b> 向 <j,a> 引弧，容量为 1;

3. 求网络中的最大流即可，保证了每个点之被选择一次，并且经历了长度为 k 的路径。

4. 对于多次使用 x1, xn 的情况，把 s-><x1,a>, <x1,a>-><x1,b>, <xn,a>-><xn,b>, <xn,b>->t 修改成 INFS 求最大流即可;

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 1010;
const int INFS = 0x3FFFFFFF;

struct edge {
    int from, to, cap, flow;
    edge(int _from, int _to, int _cap, int _flow) 
        : from(_from), to(_to), cap(_cap), flow(_flow) {}
};

class Dinic {
public:
    void initdata(int n, int s, int t) {
        this->n = n, this->s = s, this->t = t;
        edges.clear();
        for (int i = 0; i < n; i++)
            G[i].clear();
    }
    void addedge(int u, int v, int cap) {
        edges.push_back(edge(u, v, cap, 0));
        edges.push_back(edge(v, u, 0, 0));
        G[u].push_back(edges.size() - 2);
        G[v].push_back(edges.size() - 1);
    }
    bool BFS() {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            vis[i] = false, d[i] = 0;
        queue<int> Q;
        Q.push(s);
        vis[s] = true;
        while (!Q.empty()) {
            int x = Q.front(); Q.pop();
            for (int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
                edge& e = edges[G[x][i]];
                if (e.cap > e.flow && !vis[e.to]) {
                    vis[e.to] = true;
                    d[e.to] = d[x] + 1;
                    Q.push(e.to);
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }
    int DFS(int x, int aug) {
        if (x == t || aug == 0) return aug;
        int flow = 0;
        for (int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
            edge& e = edges[G[x][i]];
            if (d[e.to] == d[x] + 1) {
                int f = DFS(e.to, min(aug, e.cap - e.flow));
                if (f <= 0) continue;
                e.flow += f;
                edges[G[x][i]^1].flow -= f;
                flow += f;
                aug -= f;
                if (aug == 0) break;
            } 
        }
        return flow;
    }
    int maxflow() {
        int flow = 0;
        while (BFS()) {
            flow += DFS(s, INFS);
        }
        return flow;
    }
    void change(int offset) {
        for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {
            if (edges[i].from == s && edges[i].to == 1)
                edges[i].cap = INFS;
            if (edges[i].from == 1 && edges[i].to == offset + 1)
                edges[i].cap = INFS;
            if (edges[i].from == offset && edges[i].to == offset + offset)
                edges[i].cap = INFS;
            if (edges[i].from == offset + offset && edges[i].to == t)
                edges[i].cap = INFS;
        }
    }
private:
    vector<edge> edges;
    vector<int> G[MAXN];
    int n, s, t, d[MAXN];
    bool vis[MAXN];
};

Dinic dc;
int dp[510], seq[510];

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &seq[i]);
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[n] = 1;
    int maxlen = 1;
    for (int i = n-1; i >= 1; i--) {
        dp[i] = 1;
        for (int j = i+1; j <= n; j++)
            if (seq[i] < seq[j])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        maxlen = max(maxlen, dp[i]);
    }
    int s = 0, t = 2*n + 1;
    dc.initdata(t + 1, s, t);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dc.addedge(i, i + n, 1);
        if (dp[i] == maxlen)
            dc.addedge(s, i, 1);
        if (dp[i] == 1)
            dc.addedge(i + n, t, 1);
        for (int j = i+1; j <= n; j++)
            if (dp[i] == dp[j] + 1 && seq[i] < seq[j])
                dc.addedge(i + n, j, 1);
    }
    int flow = dc.maxflow();
    dc.change(n);
    printf("%d\n%d\n%d\n", maxlen, flow, flow + dc.maxflow());
    return 0;
}