时间序列挖掘预测算法三次指数*滑法(HoltWinters)

  在时间序列中，我们需要基于该时间序列当前已有的数据来预测其在之后的走势，三次指数*滑(Triple/Three Order Exponential Smoothing,Holt-Winters)算法可以很好的进行时间序列的预测。

  时间序列数据一般有以下几种特点：1.趋势(Trend)  2. 季节性(Seasonality)。

  趋势描述的是时间序列的整体走势，比如总体上升或者总体下降。下图所示的时间序列是总体上升的：

  季节性描述的是数据的周期性波动，比如以年或者周为周期，如下图：

  三次指数*滑算法可以对同时含有趋势和季节性的时间序列进行预测，该算法是基于一次指数*滑和二次指数*滑算法的。

  一次指数*滑算法基于以下的递推关系：

  si=αx_i+(1-α)s_i-1 

  其中α是*滑参数，s_i是之前i个数据的*滑值，取值为[0,1]，α越接*1，*滑后的值越接*当前时间的数据值，数据越不*滑，α越接*0，*滑后的值越接*前i个数据的*滑值，数据越*滑，α的值通常可以多尝试几次以达到最佳效果。

  一次指数*滑算法进行预测的公式为：x_i+h=s_i，其中i为当前最后的一个数据记录的坐标，亦即预测的时间序列为一条直线，不能反映时间序列的趋势和季节性。

  二次指数*滑保留了趋势的信息，使得预测的时间序列可以包含之前数据的趋势。二次指数*滑通过添加一个新的变量t来表示*滑后的趋势：

  s_i=αx_i+(1-α)(s_i-1+t_i-1)

  t_i=ß(s_i-s_i-1)+(1-ß)t_i-1

  二次指数*滑的预测公式为  x_i+h=s_i+ht_i  二次指数*滑的预测结果是一条斜的直线。

  三次指数*滑在二次指数*滑的基础上保留了季节性的信息，使得其可以预测带有季节性的时间序列。三次指数*滑添加了一个新的参数p来表示*滑后的趋势。

  三次指数*滑有累加和累乘两种方法，下面是累加的三次指数*滑

  s_i=α(x_i-p_i-k)+(1-α)(s_i-1+t_i-1)

  t_i=ß(s_i-s_i-1)+(1-ß)t_i-1

  p_i=γ(x_i-s_i)+(1-γ)p_i-k  其中k为周期

  累加三次指数*滑的预测公式为： x_i+h=s_i+ht_i+p_{i-k+(h mod k)}  注意：数据之魅P88此处有错误，根据Wikipedia修正。

  下式为累乘的三次指数*滑：

 s_i=αx_i/p_i-k+(1-α)(s_i-1+t_i-1)

  t_i=ß(s_i-s_i-1)+(1-ß)t_i-1

  p_i=γx_i/s_i+(1-γ)p_i-k  其中k为周期

  累乘三次指数*滑的预测公式为： x_i+h=(s_i+ht_i)p_{i-k+(h mod k)}   注意：数据之魅P88此处有错误，根据Wikipedia修正。

  α，ß，γ的值都位于[0,1]之间，可以多试验几次以达到最佳效果。

  s,t,p初始值的选取对于算法整体的影响不是特别大，通常的取值为s₀=x₀,t₀=x₁-x₀,累加时p=0,累乘时p=1.

  我们使用DataMarket的International Airline Passengers数据来测试累加和累乘三次指数*滑算法的性能，该数据记录的是每月的国际航线乘客数：

  下图为使用累加三次指数*滑进行预测的效果：其中红色为源时间序列，蓝色为预测的时间序列，α，ß，γ的取值为0.45，0.2，0.95：

  下图为累乘三次指数*滑进行预测的效果，α，ß，γ的取值为0.4，0.05，0.9：

  可以看到三次指数*滑算法可以很好的保存时间序列数据的趋势和季节性信息，在International Airline Passengers数据集上累乘*滑指数算法的效果更好。

参考文献：

  [1]. 数据之魅：基于开源工具的数据分析

  [2]. DataMarket: International Airline Passengers

  [3]. Wikipedia: Exponential Smoothing