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1. 传统向量空间模型的缺陷
向量空间模型是信息检索中最常用的检索方法，其检索过程是，将文档集D中的所有文档和查询都表示成以单词为特征的向量，特征值为每个单词的TF-IDF值，然后使用向量空间模型(亦即计算查询q的向量和每个文档di的向量之间的相似度)来衡量文档和查询之间的相似度，从而得到和给定查询最相关的文档。
向量空间模型简单的基于单词的出现与否以及TF-IDF等信息来进行检索，但是“说了或者写了哪些单词”和“真正想表达的意思”之间有很大的区别，其中两个重要的阻碍是单词的多义性(polysems)和同义性(synonymys)。多义性指的是一个单词可能有多个意思，比如Apple，既可以指水果苹果，也可以指苹果公司；而同义性指的是多个不同的词可能表示同样的意思，比如search和find。
同义词和多义词的存在使得单纯基于单词的检索方法(比如向量空间模型等)的检索精度受到很大影响。下面举例说明：
假设用户的查询为Q="IDF in computer-based information look-up"
存在三篇文档Doc 1，Doc 2，Doc 3，其向量表示如下：
| Access | Document | Retrieval | Information | Theory | Database | Indexing | Computer | Relevance | Match | |
| Doc 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | R | ||||
| Doc 2 | 1 x | 1 | 1 x | M | ||||||
| Doc 3 | 1 | 1 x | 1 x | R | M |
其中Table(i,j)=1表示文档i包含词语j。Table(i,j)=x表示该词语在查询Q中出现。Relevance如果为R表示该文档实际上和查询Q相关，Match为M表示根据基于单词的检索方法判断的文档和查询的相关性。
通过观察查询，我们知道用户实际上需要的是和“信息检索”相关的文档，文档1是和信息检索相关的，但是因为不包含查询Q中的词语，所以没有被检索到。实际上该文档包含的词语“retrieval”和查询Q中的“look-up”是同义词，基于单词的检索方法无法识别同义词，降低了检索的性能。而文档2虽然包含了查询中的"information"和"computer"两个词语，但是实际上该篇文档讲的是“信息论”(Information Theory)，但是基于单词的检索方法无法识别多义词，所以把这篇实际不相关的文档标记为Match。
总而言之，在基于单词的检索方法中，同义词会降低检索算法的召回率(Recall)，而多义词的存在会降低检索系统的准确率(Precision)。
2. Latent Semantic Analysis (Latent Semantic Indexing)
我们希望找到一种模型，能够捕获到单词之间的相关性。如果两个单词之间有很强的相关性，那么当一个单词出现时，往往意味着另一个单词也应该出现(同义词)；反之，如果查询语句或者文档中的某个单词和其他单词的相关性都不大，那么这个词很可能表示的是另外一个意思(比如在讨论互联网的文章中，Apple更可能指的是Apple公司，而不是水果) 。
LSA(LSI)使用SVD来对单词-文档矩阵进行分解。SVD可以看作是从单词-文档矩阵中发现不相关的索引变量(因子)，将原来的数据映射到语义空间内。在单词-文档矩阵中不相似的两个文档，可能在语义空间内比较相似。
SVD，亦即奇异值分解，是对矩阵进行分解的一种方法，一个t*d维的矩阵(单词-文档矩阵)X，可以分解为T*S*DT，其中T为t*m维矩阵，T中的每一列称为左奇异向量(left singular bector)，S为m*m维对角矩阵，每个值称为奇异值(singular value)，D为d*m维矩阵,D中的每一列称为右奇异向量。在对单词文档矩阵X做SVD分解之后，我们只保存S中最大的K个奇异值，以及T和D中对应的K个奇异向量，K个奇异值构成新的对角矩阵S’，K个左奇异向量和右奇异向量构成新的矩阵T’和D’：X’=T’*S’*D’T形成了一个新的t*d矩阵。
假设索引的文档的集合如下：
Term-Document矩阵为：
1 [[ 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0.] 2 [ 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0.] 3 [ 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.] 4 [ 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0.] 5 [ 0. 1. 1. 2. 0. 0. 0. 0. 0.] 6 [ 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0.] 7 [ 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0.] 8 [ 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0.] 9 [ 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.] 10 [ 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0.] 11 [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1.] 12 [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1.]]
对其进行分解后得到X=T*S*DT。其中T为：
1 [-0.22 -0.11 0.29 -0.41 -0.11 -0.34 -0.52 0.06 0.41] 2 [-0.2 -0.07 0.14 -0.55 0.28 0.5 0.07 0.01 0.11] 3 [-0.24 0.04 -0.16 -0.59 -0.11 -0.25 0.3 -0.06 -0.49] 4 [-0.4 0.06 -0.34 0.1 0.33 0.38 -0. 0. -0.01] 5 [-0.64 -0.17 0.36 0.33 -0.16 -0.21 0.17 -0.03 -0.27] 6 [-0.27 0.11 -0.43 0.07 0.08 -0.17 -0.28 0.02 0.05] 7 [-0.27 0.11 -0.43 0.07 0.08 -0.17 -0.28 0.02 0.05] 8 [-0.3 -0.14 0.33 0.19 0.11 0.27 -0.03 0.02 0.17] 9 [-0.21 0.27 -0.18 -0.03 -0.54 0.08 0.47 0.04 0.58] 10 [-0.01 0.49 0.23 0.02 0.59 -0.39 0.29 -0.25 0.23] 11 [-0.04 0.62 0.22 0. -0.07 0.11 -0.16 0.68 -0.23] 12 [-0.03 0.45 0.14 -0.01 -0.3 0.28 -0.34 -0.68 -0.18]
DT为
1 [-0.2 -0.61 -0.46 -0.54 -0.28 -0. -0.01 -0.02 -0.08] 2 [-0.06 0.17 -0.13 -0.23 0.11 0.19 0.44 0.62 0.53] 3 [ 0.11 -0.5 0.21 0.57 -0.51 0.1 0.19 0.25 0.08] 4 [-0.95 -0.03 0.04 0.27 0.15 0.02 0.02 0.01 -0.02] 5 [ 0.05 -0.21 0.38 -0.21 0.33 0.39 0.35 0.15 -0.6 ] 6 [-0.08 -0.26 0.72 -0.37 0.03 -0.3 -0.21 0. 0.36] 7 [-0.18 0.43 0.24 -0.26 -0.67 0.34 0.15 -0.25 -0.04] 8 [ 0.01 -0.05 -0.01 0.02 0.06 -0.45 0.76 -0.45 0.07] 9 [ 0.06 -0.24 -0.02 0.08 0.26 0.62 -0.02 -0.52 0.45]
Sigma为
1 [ 3.34 2 2.54 3 2.35 4 1.64 5 1.50 6 1.31 7 0.85 8 0.56 9 0.36]
我们只保留最大的2个奇异值和其对应的奇异向量，得到的T’为
1 [-0.22 -0.11] 2 [-0.2 -0.07] 3 [-0.24 0.04] 4 [-0.4 0.06] 5 [-0.64 -0.17] 6 [-0.27 0.11] 7 [-0.27 0.11] 8 [-0.3 -0.14] 9 [-0.21 0.27] 10 [-0.01 0.49] 11 [-0.04 0.62] 12 [-0.03 0.45]
D’T为
1 [-0.2 -0.61 -0.46 -0.54 -0.28 -0. -0.01 -0.02 -0.08] 2 [-0.06 0.17 -0.13 -0.23 0.11 0.19 0.44 0.62 0.53]
Sigma’为
1 [[ 3.34 0. ] 2 [ 0. 2.54 ]]
还原后的X’为
1 [ 0.16 0.4 0.38 0.47 0.18 -0.05 -0.12 -0.16 -0.09] 2 [ 0.14 0.37 0.33 0.4 0.16 -0.03 -0.07 -0.1 -0.04] 3 [ 0.15 0.51 0.36 0.41 0.24 0.02 0.06 0.09 0.12] 4 [ 0.26 0.84 0.61 0.7 0.39 0.03 0.08 0.12 0.19] 5 [ 0.45 1.23 1.05 1.27 0.56 -0.07 -0.15 -0.21 -0.05] 6 [ 0.16 0.58 0.38 0.42 0.28 0.06 0.13 0.19 0.22] 7 [ 0.16 0.58 0.38 0.42 0.28 0.06 0.13 0.19 0.22] 8 [ 0.22 0.55 0.51 0.63 0.24 -0.07 -0.14 -0.2 -0.11] 9 [ 0.1 0.53 0.23 0.21 0.27 0.14 0.31 0.44 0.42] 10 [-0.06 0.23 -0.14 -0.27 0.14 0.24 0.55 0.77 0.66] 11 [-0.06 0.34 -0.15 -0.3 0.2 0.31 0.69 0.98 0.85] 12 [-0.04 0.25 -0.1 -0.21 0.15 0.22 0.5 0.71 0.62]
还原后的X’与X差别很大，这是因为我们认为之前X存在很大的噪音，X’是对X处理过同义词和多义词后的结果。
在查询时，对与每个给定的查询，我们根据这个查询中包含的单词(Xq)构造一个伪文档：Dq=XqTS-1，然后该伪文档和D’中的每一行计算相似度(余弦相似度)来得到和给定查询最相似的文档。
参考文献：
[1] Indexing By Latent Semantic Analysis. Scott Deerwester, Susan T. Dumais, George W.Furnas, Thomas K.Landauer, Richard Harshman.
[2] Latent Semantic Analysis Note. Zhou Li.