• 浅谈数论(四)扩展欧几里得算法与乘法逆元


    扩展欧几里德算法

    基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

    证明:设 a>b。

      1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

      2,ab!=0 时

      设 ax1+by1=gcd(a,b);

      bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

      根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

      则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

      即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;(::a mod b=a-(a/b)*b;)

      根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

         这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

       上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。

     

    扩展欧几里德的递归代码:

    <span style="font-family:Comic Sans MS;">int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
    {
        if(b==0)
        {
            x=1;
            y=0;
            return a;
        }
        int r=exgcd(b,a%b,x,y);
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
        return r;
    }</span>

     扩展欧几里德非递归代码:

    <span style="font-family:Comic Sans MS;">int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
    {
        int x1,y1,x0,y0;
        x0=1; y0=0;
        x1=0; y1=1;
        x=0; y=1;
        int r=m%n;
        int q=(m-r)/n;
        while(r)
        {
            x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
            x0=x1; y0=y1;
            x1=x; y1=y;
            m=n; n=r; r=m%n;
            q=(m-r)/n;
        }
        return n;
    }</span>

     扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面:

    (1)求解不定方程;

    (2)求解模线性方程(线性同余方程);

    (3)求解模的逆元;

     

    (1)使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法:

      对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
      上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后,p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足:
      p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
      q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
      至于pa+qb=c的整数解,只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

      在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后,应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b)),

      p * a+q * b = c的其他整数解满足:

      p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
      q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
      p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
     
    用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
    代码如下:
    <span style="font-family:Comic Sans MS;">bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
    {
        int d=exgcd(a,b,x,y);
        if(c%d)
            return false;
        int k=c/d;
        x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
        return true;
    }</span>
    (2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法:

        同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解,当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时,方程有 gcd(a,n) 个解。

        求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

        设 d= gcd(a,n),假如整数 x 和 y,满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b,则方程

        a* x0+ n* y0= d, 方程两边乘以 b/ d,(因为 d|b,所以能够整除),得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
        所以 x= x0* b/ d,y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解,所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

        ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n,且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

        设ans=x*(b/d),s=n/d;

        方程ax≡b (mod n)的最小整数解为:(ans%s+s)%s;

        相关证明:

        证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
        由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
             a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                     = b (mod n)

        证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
        由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                                 = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                                 = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)
                                 = b

         

    首先看一个简单的例子:

    5x=4(mod3)

    解得x = 2,5,8,11,14.......

    由此可以发现一个规律,就是解的间隔是3.

    那么这个解的间隔是怎么决定的呢?

    如果可以设法找到第一个解,并且求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集了.

    我们设解之间的间隔为dx.

    那么有

    a*x = b(mod n);

    a*(x+dx) = b(mod n);

    两式相减,得到:

    a*dx(mod n)= 0;

    也就是说a*dx就是a的倍数,同时也是n的倍数,即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

    设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

    即a*dx = a*n/d;

    所以dx = n/d.

    因此解之间的间隔就求出来了.

        代码如下:

    <span style="font-family:Comic Sans MS;">bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
    {
        int x,y,x0,i;
        int d=exgcd(a,n,x,y);
        if(b%d)
            return false;
        x0=x*(b/d)%n;   //特解
        for(i=1;i<d;i++)
            printf("%d
    ",(x0+i*(n/d))%n);
        return true;
    }</span>
    (3)用欧几里德算法求模的逆元:

           同余方程ax≡b (mod n),如果 gcd(a,n)== 1,则方程只有唯一解。

          在这种情况下,如果 b== 1,同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

          这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

          对于同余方程 ax= 1(mod n ), gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

          ax+ ny= 1,x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出,原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

    (注:转载自jumping frog:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html)

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