[bzoj1925][Sdoi2010][地精部落] (序列动态规划)

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正整数。如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

HINT

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

Solution

刚开始是把问题转换成了1~n的排列中那些排列满足单调抖动序列

一般都可以猜到状态是用f[i][j]表示目前得出序列长度为i，以j为结尾或开头，要么正在下降或上升表示的

但是有个问题，怎么处理当前数和前面的数可能产生的重复，只能搜题解了

题解的方法很妙

将状态f[i][j]的定义改为得出了长度为i的序列，结尾的数是这个序列中第j大的，正在单增的方案数

这就说的通了

接下来研究转移

我们考虑排列的性质

设f[n][k],g[n][k]，和前面定义一样，只不过前者代表正在上升，后者代表这个在下降

有一个很巧妙的做法可以得出f和g的转换关系

即反转一下f代表的序列，将序列中的第i大的数改为n-i+1

那么，可以得出，f[n][k]=g[n][n-k+1] → g[n][k]=f[n][n-k+1]（就是下降变上升，上升变下降的关系）

又g[n-1][k]=f[n-1][n+1-1-k]=f[n-1][n-k] → g[n-1][k]=f[n-1][n-k]

还，对于已经将要得出的f[n][k]，一定是由所有的g[n-1][i] (i∈[1,k))转移来的，就是 $f[n][k]=\sum_{i=1}^{k-1}g[n-1][i]$

可得， $f[n][k]=\sum_{i=n-k+1}^{n-1}f[n-1][n-i]$

$f[n][k-1]=\sum_{i=n-k+2}^{n-1}f[n-1][n-i]$

则 $\noindent f[n][k]-f[n][k-1]=f[n-1][n-k+1]\\ f[n][k]=f[n][k-1]+f[n-1][n-k+1]$

以为题目卡空间，我们用滚动数组过

code：

#include<stdio.h>
int n,md,f[2][4210],ans;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&md);
    if(n==1){printf("%d
",1%md);return 0;}
    f[0][2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i&1][j]=(f[i&1][j-1]+f[!(i&1)][i-j+1])%md;
    for(int j=1;j<=n;j++)
        ans=(ans+f[n&1][j])%md;
    printf("%d
",(ans<<1)%md);
}