有关二项式的知识、公式~

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有关二项式的知识、公式~

   最近在啃数学书

   进度很慢，姑且记录一点幼儿园公式吧，虽然我的latex写的很缺乏审美愉悦呢

　来自《具体数学》

   大部分我会给出一个手打的证明，比较著名的东西就直接贴出来

   一、基本等式

   1.二项系数的形式/r的k次多项式

$\binom{r}{k} =\left\{ \begin{aligned} \frac{r*(r-1)*...*(r-k+1)}{k*(k-1)*...*(1)} \ \ interval \ k \geq 0 \\0 \ \ interval \ k < 0 \end{aligned} \right.$

//此处用r来记录而不使用n，目的是为了表现r可以是任意实数

$\binom{r}{k}$ //同时，我们把inom{r}{k}看做了r的k次多项式

   2.按照惯例放出二项式定理，虽然这让我的博文没有什么逻辑可言，姑且看看吧

$(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}*a^{n-r}*b^r$

证明：

考虑用数学归纳法。

当
，

假设二项展开式在
时成立。

设
，则：

，将a、b乘入：

，取出
的项：

，设
（似乎很有创意）：

，取出
项：

，两者相加（是组合数）：

，套用帕斯卡法则（什么鬼，把同类项拉进来吗）：

很科学嘛

   3.牛顿广义二项式定理

   二项式定理定理可以推广到对任意实数次幂的展开。

其中

   4.对称等式

$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$

   5.吸收等式

$\binom{r}{k}=\frac{r}{k}\binom{r-1}{k-1}$     interval k ≠ 0

   伴随等式

$k\binom{r}{k}=r\binom{r-1}{k-1}$    k∈Z

根据对称性

   引出等式

$(r-k)\binom{r}{k}=r\binom{r-1}{k}$

6.加法等式

$\binom{r}{k}=\binom{r-1}{k-1}+\binom{r-1}{k}$

应用吸收等式

   引出等式

$(r-k)\binom{r}{k}+k\binom{r}{k}=r\binom{r-1}{k}+r\binom{r-1}{k-1}$

   7.求和等式

$\sum_{k\leq n}{}\binom{r+k}{k}=\binom{r+n+1}{n}$

上求和

$\sum_{0\leq k\leq n}{}\binom{k}{m}=\binom{n+1}{m+1}$

8.上求反

$\binom{r}{k}=(-1)^k*\binom{k-r-1}{k}$

9.三项修正

$\binom{r}{m} \binom{m}{k}= \binom{r}{k} \binom{r-k}{m-k}$

此类等式证明很简单，就不给出了

10.Vandermonde结合式

$\sum_{}{k}\binom{r}{k}*\binom{s}{n-k}=\binom{r+s}{n}$

二项式的话差不多就这些了吧

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原文地址：https://www.cnblogs.com/keshuqi/p/6363076.html

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