导语
最近在复习线性代数，大一考完试之后就再也没去看它了，好多东西都忘光了。然后看书过程中感觉学校的课本有一处好像写得不是很清楚（有点前后矛盾），就去网上想找被大家奉为圭臬的同济版线性代数pdf，在过程中搜到了一篇帖子。
开头第一句话就让我深有共鸣：“开头第一章就行列式直接糊你脸上，但是行列式到底是个啥？” 是呀，课本说了行列式的定义，计算规则云云，但是为啥要定义这个东西？它的定义规则又为啥是这样？我一直没懂。于是我找到了一个国外博主3Blue1Brown讲解线性代数的视频：
线性代数的本质 - 系列合集
（若上述url失效，请点击上方该博主个人空间，搜索“线性代数的本质”视频）
我的感觉就是，博主的理解配上博主做的的可视化动画，确实是让我有了大一那会儿学线代时候从来都没有过的理解，这种理解是更加形象化的，正因如此也更能够让你去记住这些知识点。
它并没有像国内大学课本一样，第一章就从我们从没学过的行列式起手，而是从我们高中就学过的向量开始，一步步往下讲。
声明：
- 该博文只是个人学习过程中的笔记，并且对于视频p11与p12的叉积部分，本文中没有做笔记。
- 为了获得更好的理解，观看视频是必不可少的（视频中有一些形象的动画效果）
向量与基础知识的引入（视频p1）
向量：空间中的一个既有方向又有长度的箭头，用数字来表示它，就是一个列表，列标中的每一维的数字表示的是在该空间坐标系下，该向量在那个方向上的投影长度。
基向量：在一个空间中，我们可以选定若干个基向量，使得空间中的任意一个向量都由基向量缩放后相加得到。
线性组合：对于几个缩放后的向量再求和，就是对这几个向量进行线性组合。（缩放也就是乘上一个系数嘛）
空间与线性相关（视频p2）
向量空间：给定n个向量，它们的所有线性组合的可能形成的向量，就是这n个给定向量张成的空间
线性相关：有多个向量，移除一个的话可以不减少张成的空间或者第三个向量所在的平面恰好是在第一个和第二个向量张成的平面上，那么就称它们线性相关。
也就是说第三个向量完全可以由第一、二个向量来线性组合而形成。
线性无关：如果所有向量都给张成的空间添加了新的维度，那么称它们是线性无关的
你想，一个空间中的基向量，肯定是要求线性无关的，要不然多出来的某一个向量可以用其他几个表示出来的话，那就不需要多出来的这个基向量了。
矩阵与线性变换（视频p3）
什么是线性变换：一种变换你可以将其视为一个盒子，接收一个东西，然后输出另一个东西
在线性代数的情况下，我们考虑的是接受一个向量，然后输出另一个向量。
而对于一个空间做变换，就是将这个空间中的所有向量，都按照特定的规则去旋转或者拉长等等。这样整个空间就按照这个规则发生了变换。
线性变换，就是这个空间在经过变换之后，空间中本来的直线仍然是直线，没有弯曲，并且空间的原点必须保持固定。简而言之，线性变换是保证空间中的网格线平行且等距分布的变换。
那么我们如何描述一个变换呢？
因为空间中所有的向量都是由基向量伸缩后相加得到的，所以我们只需要关心一个空间的变换前后，其基向量的变化情况即可。
所以我们可以说，对于一个二维空间中的变换，我们只需要关注那两个基向量，并且，这两个二维的基向量如果写在一起成为一个二维矩阵，矩阵的两列分别是两个基向量的话，我们可以将这个矩阵记为 “对该二维空间的一个变换”。
比如：原来的笛卡尔坐标系二维空间中，我们的两个基向量是 (vec{i}:left[egin{array}{l} 1 \ 0 end{array} ight]) 和 (vec{j}:left[egin{array}{l} 0 \ 1 end{array} ight]) ，经过一个变换之后，它们变成了 (vec{i}:left[egin{array}{l} 3 \ -2 end{array} ight]) 和 (vec{j}:left[egin{array}{l} 2 \ 1 end{array} ight]) .
我们就可以将该变换直接记为：(left[egin{array}{l} 3 & 2\ -2 & 1 end{array} ight]) . 之后，每次看到一个矩阵，都可以将其解读为对空间的一种特定的变换。
再来看看我们的空间中的任意一个向量，假设有向量 (vec{a}:left[egin{array}{l} 3 \ 4 end{array} ight]) ，它是怎么得到的？是由两个基向量经过不同幅度的伸缩组成的，即： (vec{a}:left[egin{array}{l} 3 \ 4 end{array} ight]=3 imes left[egin{array}{l} 1 \ 0 end{array} ight]+4 imes left[egin{array}{l} 0 \ 1 end{array} ight]= left[egin{array}{l} 1 & 0\ 0 & 1 end{array} ight] imes left[egin{array}{l} 3 \ 4 end{array} ight]) ，其实也就是两个基向量放在一起形成的矩阵去乘3和4组成的向量（3和4各自代表它们基向量相加前伸缩的幅度），那么上面也说了，一个矩阵所代表的变换，它的各列就是变换后空间的基向量，
所以，对于 “ 矩阵×向量” ，我们够更好地去理解它的几何含义，相乘得到的结果，其实就是右边的向量在经过一次变换过后的空间中的坐标。