完全背包

在昨天我已经很详细的讲解过01背包的动态规划问题了.

先看问题：在n种物品中选取若干件（同一种物品可多次选取）放在空间为v的背包里，每种物品的体积为c1，c₂，…，c_n，与之相对应的价值为w₁,w₂，…，w_n.求解怎么装物品可使背包里物品总价值最大

看完这个问题，你也许会觉得这个不就是01背包的升级版吗，其实就是这样，完全背包问题与01背包问题的区别在于完全背包每一件物品的数量都有无限个，而01背包每件物品数量只有1个

所以说与它相关的策略已经不是只有取和不取这两种策略了，而是有取0件、取1件、取2件……等等很多种策略

如果我们用和01背包一样的状态，f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大价值，那我们应该用k表示当前容量下可以装第i种物品的件数，那么k的范围应该是0≤k≤v/c[i]，

既然要用当前物品i把当前容量装满，那需要0≤k≤v/c[i]件，其中k表示件数。

然后有一个式子跟（01背包一样的有一个式子）

下面给出状态转移方程：f[i][j] = max{f[i][j],f[i-1][j - k * c[i]] + k * w[i]}(0<=k*c[i]<=v)

我们可以对其进行优化：如果有两件物品a、b满足c[a]<=c[b]且w[a]>=w[b]，则将物品b去掉，不用考虑。因为你可以用 占用体积小的物品 得到 比 占用体积大的物品还要多的价值，何乐而不为呢。其实对于完全背包，可以再优化，首先将容量大于v的物品去掉，然后排序计算出容量相同的物品中价值最高的是哪个，我们只要价值大的就可以了。

这就是完全背包的基本概念。