FZU-2020 组合(Lucas定理)

Problem 2020 组合

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Problem Description

给出组合数C(n,m), 表示从n个元素中选出m个元素的方案数。例如C(5,2) = 10, C(4,2) = 6.可是当n,m比较大的时候，C(n,m)很大！于是xiaobo希望你输出 C(n,m) mod p的值！

Input

输入数据第一行是一个正整数T,表示数据组数 (T <= 100) 接下来是T组数据，每组数据有3个正整数 n, m, p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素数)

Output

对于每组数据，输出一个正整数，表示C(n,m) mod p的结果。

Sample Input

2 5 2 3 5 2 61

Sample Output

1 10

Source

FOJ有奖月赛-2011年04月（校赛热身赛）

 

数论Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。

描述为:

Lucas(n,m,p)= c(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas(x,0,p)=1;

而

c(a,b)=a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p

也= (a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p

这里，其实就是直接求 (a!/(a-b)!) / (b!) mod p

由于 (a/b) mod p = a * b^(p-2) mod p     (费马小定理而来)

http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2020

求C(n,m) mod p的结果

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LL;
int cas;
LL n,m,p;
LL ksm(LL x,LL y){
    LL an(1);
    while (y){
        if (y&1)
         an=an*x%p;
        x=x*x%p;
        y>>=1;
    }
    return an;
}
LL c(LL x,LL y){
    int i,j;
    LL an(1);
    if (x<y)
     return 0;
    for (i=1;i<=y;i++)
     an=an*(x-i+1)%p*ksm(i,p-2)%p;
    return an;
}
LL lucas(LL x,LL y){
    LL an(1);
    while (x&&y){
        an=an*c(x%p,y%p);
        if (an==0)
         return 0;
        an%=p;
        x/=p,y/=p;
    }
    return an;
}
int main(){
    freopen ("lucas.in","r",stdin);
    freopen ("lucas.out","w",stdout);
    int i,j;
    scanf("%d",&cas);
    while (cas--){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        printf("%lld
",lucas(n,m));
    }
    return 0;
}