二分图中的匹配

问题一（未完）：
考虑n行m列的棋盘，其某些方格禁止落子。能够被放到棋盘上的非攻击型车的最多个数。

考虑4行5列的棋盘，其落子位置如下表：

	y1	y2	y3	y4	y5
x1		*
x2			*		*
x3	*		*		*
x4	*

对应于棋盘的每一行，有一个左顶点：xi是对应行i的左顶点（i=1,2,3,4）

对应于棋盘的每一列，有一个右顶点：yi是对应列j的右顶点（j=1,2,3,4,5）

他们的集合分别是X={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3,y4,y5}

在G中，用一条边连接顶点xi和顶点yj当且仅当在行和列交叉处的方格是允许落子的。

令▲ 是这种方法所得到的边集，然后，由G=(X,▲,Y);

印象中有题目不是这么简单。。再补。。

问题二：
再考虑n行m列的棋盘，其某些方格禁止落子。能够放到棋盘上的多米诺牌（允许盖住两个方格）的最大牌数。

我们可以将棋盘分成白色方格，黑色方格，

用w1,w2,w3,...,表示白色，b1,b2,b3,....,表示黑色

w1	×	w2	b1	w3
b2	w4	×	w5	×
×	b3	×	b4	×
×	w6	b5	w7	b6

他们的集合分别是X={w1,w2,...,w7},Y={b1,b2,...,b6}.

在G中的边当且仅当一张多米诺牌同时覆盖两个方格，即相邻不同色建边。

于是，G的每一条边对应棋盘上可能的一张多米诺牌。

令▲ 是这种方法所得到的边集，然后，由G=(X,▲,Y);

多米诺牌数等于匹配的边数。

问题三：

一个公司由n个工作空缺，m个人申请这n项工作。

一个工作只能满足该工作条件的人填补。
求最大数目的工作被申请人填补。

显然人和工作可以构造二分图G(X,▲,Y)。

这些问题都是突出了二分匹配的两个重要特性：

1. 二分图！两个集合，集合内部成员没有联系。

2. 两个集合的边，都是求边的最大条数，所以要深刻思考边的实际意义。