欧几里得空间与希尔伯特空间

欧几里得空间，希尔伯特空间都属于函数空间。

函数空间 = 元素 + 规划，即一个函数空间由元素与规则定义。而要明白函数空间的定义得从距离、范数、内积、完备性说起。

1.  距离

　　距离包括各个点之间的距离，向量之间的距离，曲线之间的距离，函数之间的距离等。

　　距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异，下面是关于距离的属性：

• 元素之间的距离大于等于0，若距离等于0则为相同元素。
• A到B的距离等于B到A的距离。
• 满足三角不等式。

2. 范数

　　范数在距离的概念上加了零点限制条件。二维平面中范数可以看做平面中的点到零点的距离。

　　拥有距离的空间成为度量空间。拥有范数的空间称为赋范空间。赋范空间一定是度量空间。

　　总结：元素 χ 的范数 ||χ|| 看作 χ 到零点的距离。　　

3. 内积

　　内积在范数的概念上加了角度限制条件。内积空间一定是赋范空间。

　　有限维内积空间是欧几里得空间。

4. 完备性

　　集合中的元素取极限不超出此空间称其具有完备性。

　　例如：有理数组成的一个集合{1，1.4，1.41，1.414，1.4142…}，此集合极限为√2​，而√2​是无理数，不是有理数，即有理数不具备完备性。

线性完备内积空间称希尔伯特空间（不在局限于有限维，还具有完备性）。

有限维线性内积空间称欧几里得空间。

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