最小费用最大流问题

　　复杂网络中，单源单点的最小费用最大流算法(MCMF)应用广泛。

　　在实际网络问题中，不仅考虑从 V_s 到 V_t 的流量最大，还要考虑可行流在网络传送过程中的费用问题，这就是网络的最小费用最大流问题。

　　最小费用最大流问题的一般提法：已知容量网络 D=(V ,A ,C)，每条弧 (V_i，V_j) 除了已给出容量 C_ij 外，还给出单位流量的传输费用 b_ij≥0，记作D=(V, A, C, B)，其中b_ij ∈B。要在费用、容量网络 D 中寻找 V_s→V_t的最大流 f={fij}，且使流的总传输费用：

b(f)=Σb_ij f_ij 最小

　　从上一讲可知，最大流的求法就是在容量网络上从某个可行流出发，设法找到一条从 V_s→V_t 的增广链，然后沿着此增广链调整流量，作出新的流量增大了的可行流。在这个新的可行流基础上再寻找它的增广链。如此反复进行，直至再找不出增广链，就得到了该网络的最大流。

例子：给定费用、容量网络图(b_ij，c_ij)，试求网络的最小费用最大流。

解：

（1）、初始取0流量，此时总费用为 f(0) = 0。

（2）、由原始网络构建费用网络图（费用网络图每条线路上的权重为b_ij，b_ij为单位流量的费用）。

（3）、通过当前费用网络图找到一个费用最少的路径，即vs->v3->v2->vt。通过该路径上每条线段的容量得出该线路能通过的最大流量，即调整量θ = min{8,5,7} = 5，即流量为5，当前的最小费用为 f(1) = 5*1+5*2+5*1 = 20。下图为流量网络图。

（4）、在（3）的基础上构造新的费用网络图，构造方法为：当线路没流量通过时，流量方向不变，费用为原始费用。如vs->v2；

当线路流量等于该线路的最大容量时，则流量方向改变，费用为原始费用的负数。如v3->v2变为v2->v3；

当线路流量小于该线路的最大容量时，则增加反向流量，费用为原始费用的负数。如vs->v3新增v3->vs；

（5）、在（4）中得到的费用网络图上，找到费用最少的路径，即vs->v2->vt，通过该路径上每条线段的容量得出该线路能通过的最大流量，即调整量θ = min{10,7-5} = 2，得到的最小费用流的流量为7，当前的最小费用为 f(2) = 2*4+5*1+5*2+7*1 = 30。

（6）、构造可行流 f²的费用网络图。

（7）、在（6）中得到的费用网络图上，找到费用最少的路径，即vs->v3->v4->vt，通过该路径上每条线段的容量得出该线路能通过的最大流量，即调整量θ = min{8-5,10,4} = 3，得到的最小费用流的流量为10，当前的最小费用为 f(3) = 2*4+8*1+5*2+7*1+3*3+3*2 = 42

（8）、构造可行流 f³ 的费用网络图。

（9）、在（8）的费用网络图上，找到费用最少的路径，即vs->v2->v3->v4->vt，通过该路径上每条线段的容量得出该线路能通过的最大流量，即调整量θ = min{10-2, 10-3, 4-3, 5} = 1，得到的最小费用流的流量为11，当前最小费用为 f(4) = 3*4+8*1+4*2+7*1+4*3+4*2 = 55

（10）、构造可行流 f⁴ 的费用网络图。

由于无法找到从 vs->vt 的最短路，所以 f(4) 就是该网络的最小费用最大流。