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我们先研究这个问题的一部分：哪些素数是两平方数之和？为什么我们先研究素数，有个很重要的原因是：若两个正整数都是两平方数之和，那么它们的乘积也是两平方数之和。道理很简单，设两个正整数分别为 a^2+b^2 和 c^2+d^2 ，那么有
当然我们暂时不用管这么多，我们专心研究素数。在尝试了一些较小的素数后（这里不再像《数论概论》一样把表打出来了...），我们发现，除了偶素数 2 （它是两平方数 1,1 之和）之外，一个素数是两平方数之和当且仅当这个素数除以 4 的余数为 1 （也可以叫做 4k+1 型素数）。
也就是说，我们有如下两个猜想：
1. 4k+1 型素数一定是两平方数之和。
2. 4k+3 型素数一定不是两平方数之和。
我们先挑一个简单的。第一个猜想要证明存在性，一般要构造，但是似乎不容易构造出来。我们再看第二个猜想，这个...好像也太简单了吧...注意到平方数模 4 余数一定是 0 或 1 ，两个平方数加起来怎么也凑不出余数 3 。第二个猜想就这么证出来了。
回头再看第一个猜想，好像还是很难的样子...事实上，这个猜想是成立的。不过，证明方法并没有一下子构造出两个平方数，而是先把这个素数的某个倍数表示为两平方数之和，再逐步缩小这个倍数。这种方法被称为费马降阶法。
设这个素数为 p ，我们先随便找一个正整数 k 使得 kp 可写为两平方数之和：
这是很容易办到的，例如取 b=1 ，由于 p 是 4k+1 型素数，所以 -1 必然是 p 的二次剩余，因此可以找到一个在 1,2,3,...,p-1 范围内的 a 使得 a^2+1 是 p 的倍数。顺便我们可以得到 k 小于 p 。
若 k=1 ，则我们已经把 p 写成两平方数之和，因此我们假设 k>1 。
接下来我们想办法找到另一组 a,b 使得 k 变得更小（也就是降阶操作）。为此我们先找一个尽量小的正整数 t 使得 kt 可写为两平方数之和：
这也很容易做，只需把 a,b 都模 k ，得到的两个余数分别作 u,v 即可。为了尽量缩小 t ，我们不管 u,v 是正的还是负的，这样的好处是 u,v 的绝对值都可以取到不超过 k/2 。后面可以看到，只有这样才能保证达到降阶的目的。
然后把两式相乘，利用上面的恒等式：
在使用恒等式时，左边的加减号稍微变了一下，这样能保证左边的两个平方数都是 k^2 的倍数（别忘了 a,u 和 b,v 都是模 k 同余的）。然后两边同时除以 k^2 ，在最后一行里，用 a,b 替换两个小括号，用 k 换掉右边的 t ，我们就找到了一组新的 a,b,k 使得 a^2+b^2=kp 。
当然，我们需要验证我们得到的 t 确实小于 k 。在式子 u^2+v^2=kt 中进行估计，左边不会超过 k^2/2 （因为 u,v 的绝对值都不超过 k/2 ），这样 t 一定不会超过 k/2 ，当然有 t 一定比 k 小。
最后还要排除 t=0 的情况。如果 t=0 ，那么 u^2+v^2=0 ，这样必有 u=v=0 ，也就是 a,b 一定是 k 的倍数。这样 a^2+b^2 一定是 k^2 的倍数，则 kp 也是 k^2 的倍数， p 就是 k 的倍数。而 k 是小于 p 的，所以 k 一定为 1 ，与我们假设 k>1 矛盾。
这样，只要 k>1 ，我们就可以重复进行降阶操作直到 k=1 ，此时我们就把 p 表示成了两平方数之和。
至此，我们证明了 4k+1 型素数一定是两平方数之和。
结论：素数 p 是两平方之和当且仅当 p=2 或 p 为 4k+1 型素数。
素数的情况就研究完了，其实本来希望是所有素数都可以的...这样的话每个合数都可以表示为若干个素数的乘积，就直接得出所有正整数都是两平方数之和了。
对任意正整数的情况，受上面的启发，我们知道 4k+3 型正整数肯定不是两平方数之和（仍然是模 4 分析余数）。 4k+1 型正整数是否一定是两平方数之和？试验发现有反例（例如 21 ）。分解素因数发现， 21=3*7 ，两个素因数都是 4k+3 型的。我们需要研究含有 4k+3 型素因数的正整数的性质。
我们要证明这样一个性质：若 p 是 4k+3 型素数，则有
右边推左边是显然的。如果已知左边推右边，先用反证法，假设右边不成立，则 a,b 有一个不是 p 的倍数，容易得到另一个也不是 p 的倍数。然后就可以用费马小定理了。
到这里显然矛盾了。注意第 4 行用到了 p 为 4k+3 型素数的条件（否则右边没有负号）。我们立即推出，p^2 也是 a^2+b^2 的约数，而且 (a^2+b^2)/p^2=(a/p)^2+(b/p)^2 也是两平方数之和。
接下来我们讨论两平方数之和的问题，若某个正整数含某个 4k+3 型素因子 p ，并且 p^2 不整除该正整数，则该正整数不是两平方数之和；否则若 p^2 整除该正整数，则该正整数是两平方数之和，等价于该正整数除以 p^2 后仍然是两平方数之和。
结论：某个正整数是两平方数之和，当且仅当该正整数的所有 4k+3 型素因子的幂次均为偶数。
考虑一个加强版的问题：哪些正整数可以表示成两个互素的平方数之和？容易想到的是，这类正整数决不能含有 4k+3 型素因子（否则的话，这两个平方数也必须是该素因子的倍数，它们不可能互素）。不过，不含 4k+3 型素因子的正整数也并不是都可以（例如 4,8 ）。事实上，所有 4 的倍数都不行，否则的话模 4 分析可得两个平方数均为 4 的倍数，它们不可能互素。
现在我们只剩下两类数要考虑：
1.只含 4k+1 型素因子的奇数。
2.只含 4k+1 型素因子的奇数的二倍。
下面证明第一类数都是两互素平方数之和。为此，先用归纳法证明 4k+1 型素数的正整数次幂是两互素平方数之和。设 p 为 4k+1 型素数，我们已经证出来 p 是两平方数之和，容易证明这两个平方数是互素的。
假设 p^k 被表示成了两互素平方数之和：
则我们可以将 p^(k+1) 表示为：
假如该表示不符合两平方数互素的要求，设 au+bv,av-bu 的最大公约数为 d(d>1) ，则有 d|p^(k+1) ，容易得到 d 是 p 的倍数，也就是说 au+bv,av-bu 都是 p 的倍数。反过来，如果 au+bv,av-bu 不是 p 的倍数，那么该表示必然符合要求。
同时我们也可以看到，由归纳假设， p^k 和 p 的平方和表示都是合格的，也就是说 a,b,u,v 均不是 p 的倍数。
事实上，如果 au+bv,av-bu 确实是 p 的倍数，那么我们把这两个数换成 au-bv,av+bu ，这两个数都不是 p 的倍数（否则的话，它们都是 p 的倍数，那么 2bv=(au+bv)-(au-bv) 也是 p 的倍数，这与 b,v 均不是 p 的倍数矛盾）。所以我们总是可以找到两个互素的平方数。
接下来证明所有只含 4k+1 型素因子的奇数都是两互素平方数之和。为此我们先把它分解为若干个单素数幂，它们两两互素，由刚才的结论，可以把它们分别表示为两个互素平方数之和。然后再把它们乘起来。
我们证明这个结论：若 n=a^2+b^2,m=c^2+d^2 ，且 (n,m)=(a,b)=(c,d)=1 ，则
证明比较简单，设待证的最大公约数为 g ，则
所以说，只要互素的数 n,m 都是两互素平方数之和，则 nm 也是两互素平方数之和。这样我们就证完了。
对于第二类数（只含 4k+1 型素因子的奇数的二倍），设其中一个数为 2n ，则 n 是只含 4k+1 型素因数的奇数，于是存在 n=a^2+b^2 ，其中 a,b 互素。显然 a,b 一奇一偶。把 2n 写成 (a+b)^2+(a-b)^2 ，则有
于是这种表示是满足要求的。
结论：某个正整数是两互素平方数之和，当且仅当该正整数不含 4k+3 型素因子且不被 4 整除。