最小生成树（prim算法，Kruskal算法）c++实现

1、生成树的概念 
连通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。

生成树是连通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。 生成树各边的权值总和称为生成树的权。权最小的生成树称为最小生成树。

2、最小生成树的性质
用哲学的观点来说，每个事物都有自己特有的性质，那么图的最小生成树也是不例外的。按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点、n-1 条边。

3、构造最小生成树，要解决以下两个问题：
(1).尽可能选取权值小的边，但不能构成回路（也就是环）。
(2).选取n-1条恰当的边以连接网的 n个顶点。

求最小生成树的算法一般都使用贪心策略，有Prim算法和Krusal算法等。

普里姆算法的基本思想：
1）清空生成树，任取一个顶点加入生成树；
2）在那些一个端点在生成树里，另一个端点不在生成树里的边中，选取一条权最小的边，将它和另一个端点加进生成树；
3）重复步骤2，直到所有的顶点都进入了生成树为止，此时的生成树就是最小生成树。

即:从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点v加入到生成树的顶点集合U中。以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点 v加入到集合U中。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。

#include<iostream>
using namespace std;
 
#define MAX 100
#define MAXCOST 0x7fffffff
 
int graph[MAX][MAX];
 
int Prim(int graph[][MAX], int n)//二维数组作为参数如何使用？
{
    int sta[MAX];//存放某一条边的起点值
    int lowcost[MAX];//存放以i为终点的的边的最小的权值
    int min,minid,sum=0;//min用来存放最小权值，minid用来存放权值最小的边所对应的终点
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        lowcost[i]=graph[1][i];//初始化lowcost[i]，并把他们的初始值都看作是从节点1出发到i的权值
        sta[i]=1;//起点赋值为1
    }
    sta[1]=0;//节点1进入最小生成树
    for(int h=2;h<=n;h++)
    {
        min=MAXCOST;//找到最小的，先来个较大值
        for(int j=2;j<=n;j++)
        {
            if(lowcost[j]<min&&lowcost[j]!=0)//如果找到权值较小的就赋值给min，并把终点j赋值给minid。
            {    min=lowcost[j]; minid=j;}
        }
        lowcost[minid]=0;//这条边已经进入最小生成树，所以把值置为0
        sum+=min;
        for(int s=2;s<=n;s++)
        {
            if(lowcost[s]<graph[minid][s])//如果原先的lowcost[j]的值大于以minid为起点到终点j的权值，则更新它，并把起点更新为minid
            {
                lowcost[s]=graph[minid][s];
                sta[s]=minid;
            }
        }
    }
    return sum;
               
}
int main()
{
   int m,n,x,y,cost;
   cout<<"请输入节点数目和边的数目："<<endl;
   cin>>m>>n;
   for(int i=1;i<=m;i++)
       for(int j=1;j<=m;j++)
           graph[i][j]=MAXCOST;

       for(int k=1;k<=n;k++)
       {
           cin>>x>>y>>cost;
           graph[x][y]=graph[y][x]=cost;
       }
      cost= Prim(graph,n);
      cout<<cost<<endl;
      return 0;
}

prim函数应当好好理解，并且要多些几遍才能熟练掌握。

Kruskal算法的步骤：

1.对所有边进行从小到大的排序。

2.每次选一条边（最小的边），如果如果形成环，就不加入(u,v)中，否则加入。那么加入的(u,v)一定是最佳的。

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
#define MAX 100
struct edge 
{
    int x,y;
    int w;
}e[MAX];
int fa[MAX];
int rank[MAX];
int sum;
int cmp(edge a,edge b)//排序函数
{
    if(a.w!=b.w)
        return a.w<b.w;
    else 
    {
        return a.x<b.x;
    }
}
void make_set(int x)//初始化节点
{
  fa[x]=x;
  rank[x]=0;
}
 int find(int x)//查找父节点
 {
     return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
 }


 void union_set(int x,int y,int w)//合并节点
 {
     if(rank[x]>rank[y])
     {
         rank[y]=x;
     }
     else  if(rank[x]<rank[y])
     {
         rank[x]=y;
     }
     else
     {
      rank[x]++;
      rank[y]=x;
     }
     sum+=w;//总权值加上w
 }
int main()
{
    int x,y,w;
    int m,n;//n是点,m是边
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>x>>y>>w;
        e[i].x=x;
        e[i].y=y;
        e[i].w=w;
        make_set(x);
        make_set(y);
    }
    sort(e,e+m,cmp);
    sum=0;
    for(int  i=0;i<n;i++)
    {
        x=find(e[i].x);
        y=find(e[i].y);
        w=e[i].w;
        if(x!=y)
        {
            union_set(x,y,w);
        }
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}