UVALive

一：问题描述

本题题意大致是说：给出一棵多叉树，每个节点的任意两个子节点都有左右之分。从根节点开始，每次尽量往左边走。走不通了就回溯，把遇到的字母顺次记录下来，可以得到一个序列。现在给定一个序列，要求满足条件的多叉树的数目。

二：题目分析

我们可以分析对于这个序列而言一定是对称序列，那么对于序列S而言，

我们定义d(i,j)为子序列对应的树的个数，边界条件是：

                                    

并且我们可以得出如下结论：

                                    

在其它情况下，设第一个分支在S_k 时回到树根（必须有Si =S_j ）则这个分支对应的序列是

                                                                                

，方案数为：d(i+1,k-1).其它的分支对应的访问序列是

                                                                                 

方案数为d(k,j)。这样在非边界情况下，递推关系为：

                                                              

三：AC代码

根据这个我们便可以写出代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 300+10
#define MOD 1000000000
typedef long long ll;
char s[maxn];
int d[maxn][maxn];
int dp(int i,int j)
{
    if(i==j) return 1;
    if(s[i]!=s[j]) return 0;
    int & ans=d[i][j];
    if(ans>=0) return ans;
    ans=0;
    for(int k=i+2;k<=j;k++)
        if(s[i]==s[k])
    {
        ans=(ans+MOD+(ll)dp(i+1,k-1)*(ll)dp(k,j))%MOD;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    while(cin>>s)
    {
        memset(d,-1,sizeof(d));
        cout<<dp(0,strlen(s)-1)<<endl;
    }
    return 0;
}

四：总结

本题主要讲解了如何利用递推关系去求解，于此同时我们要学会建立状态。这样才能得出求解方程。