【算法与数据结构】动态规划

用递归求解问题时，反复的嵌套会浪费内存。而且更重要的一点是，之前计算的结果无法有效存储，下一次碰到同一个问题时还需要再计算一次。例如递归求解 Fibonacci 数列，假设求第 n 位（从 1 开始）的值，C 代码如下：

#include <stdio.h>

int fib(int n) {
	if (n < 3) {
		return 1;
	}
	return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
int main(void) {
	int ret = fib(5);
	printf("fib ret is: %d
", ret);
	return 0;
}

上面的代码，每个运算节点都需要拆成两步运算，时间复杂度位 O(2^n)。

你可以把 n 改为 40 左右试试，这是消耗的时间就是秒级了。总共的求解步骤如下：

• 求第 5 位
  • 求第 4 位
    • 求第 3 位
      • 求第 2 位
      • 求第 1 位
    • 求第 2 位
  • 求第 3 位
    • 求第 2 位
    • 求第 1 位

如果想把每次求解的结果保存下来，就需要一个长度位 n 的数组，从头开始把每一个位置的值保存下来，这样求解后面的值的时候就可以用了。

动态规划（Dynamic Programming）的思想

对于递归，只要写好了退出条件，之后不停的调用自身即可，最终到达退出条件时，逐个退出函数。

动态规划则是从头开始，用循环达到目的。

动态规划和递归的最大的区别，就是在碰到重叠子问题（Overlap Sub-problem）时，是否只需要计算一次。

#include <stdio.h>

int fib(int n) {
	int i;
	int dp_opt[n];
	dp_opt[0] = 1;
	dp_opt[1] = 1;
	for (i = 2; i < n; i++) {
		dp_opt[i] = dp_opt[i - 1] + dp_opt[i - 2];
	}
	return dp_opt[n - 1];
}
int main(void) {
	int ret = fib(5);
	printf("fib ret is: %d
", ret);
	return 0;
}

上面代码的时间复杂的是 O(n)。

示例

求任意 n 个非相邻数字之和

题目：从集合中，任取任意多个非相邻的数字并求和，找出最大的和。例如，对于 {1， 9， 2， 5， 4}，最大的和是 14。

分析：对于任意第 n 位数字，都有两种情况，只需要取值最大的那种即可：

• 选中，则该元素的最大和为：当前元素值加上第 n - 2 位的最大和，即 OPT(n) = OPT(n - 2) + arr[n]
• 不选，则该元素的最大和为：第 n - 1 位的最大和，即 OPT(n) = OPT(n - 1)

递归解法

递归退出条件：

• 当计算到第一个元素时，直接返回这个元素的值
• 当计算到第二个元素时，返回前两个元素中的最大值

递归循环：

• 递归计算当前元素的最大和
• 递归计算前一个元素的最大和
• 返回这两个最大和中的大者

int recursive(int arr[], int n, int i) {
	if (i == 0) 
		return arr[0];
	if (i == 1)
		return arr[0] > arr[1] ? arr[0] : arr[1];
	int before = recursive(arr, n, i - 2) + arr[i];
	int cur = recursive(arr, n, i - 1);
	return cur > before ? cur : before;
}

动态规划

为了确保每个最小子问题都只计算一次，就必须把计算的结果保存起来。另外，跟递归的逆序求解方向相反，动态规划从第一个元素开始，依次计算每个元素的最大和：

• 创建跟待求解问题同规模的数组 dp_opt，用来存放每个元素的最大和
• 计算第一个元素的最大和（即这个元素的值），并放入 dp_opt 的第一个位置
• 计算第二个元素的最大和（即前两个元素的最大值），并放入 dp_opt 的第二个位置
• 从第三个位置开始，循环到最后一个位置，循环内容为：
  • 计算当前位置的前一个位置对应的最大和 x
  • 计算当前位置元素 arr[n] 加上前前一个位置对应的最大和 y
  • dp_opt[n] = max(x, y + arr[n])

int dp_opt(int arr[], int n, int x) {
    int i;
    int before, cur;
    int opt[n];
    for (i = 0; i < n; i++) {
        opt[i] = 0;
    }
    opt[0] = arr[0];
    opt[1] = arr[0] > arr[1] ? arr[0] : arr[1];
    for (i = 2; i < n; i++) {
    	before = opt[i - 2] + arr[i];
    	cur = opt[i - 1];
        opt[i] = cur > before ? cur : before;
    }
    return opt[x];
}

综合示例

#include <stdio.h>

// 递归解法
int recursive(int arr[], int n, int i) {
	if (i == 0) 
		return arr[0];
	if (i == 1)
		return arr[0] > arr[1] ? arr[0] : arr[1];
	int before = recursive(arr, n, i - 2) + arr[i];
	int cur = recursive(arr, n, i - 1);
	return cur > before ? cur : before;
}

// 动态规划
int dp_opt(int arr[], int n, int x) {
    int i;
    int before, cur;
    int opt[n];
    for (i = 0; i < n; i++) {
        opt[i] = 0;
    }
    opt[0] = arr[0];
    opt[1] = arr[0] > arr[1] ? arr[0] : arr[1];
    for (i = 2; i < n; i++) {
    	before = opt[i - 2] + arr[i];
    	cur = opt[i - 1];
        opt[i] = cur > before ? cur : before;
    }
    return opt[x];
}
	
int main() {
	int i; 
	int n = 7;
	int arr[] = {1, 2, 4, 1, 7, 8, 3};

	for (i = 0; i < 7; i++) {
	 	printf("recursive ret is: %d, dp_opt ret is: %d
", recursive(arr, n, i), dp_opt(arr, n, i));
	}
	return 0;
}

已知某个值，判断在正数集合中是否存在元素的组合，刚好组合中的元素之和等于这个值

例如，对于 {2, 5, 8, 22, 9}，给定值位 15，则可以找到组合 {2, 5, 8} 满足条件。

要判断多个元素之和是否等于某个值 sum，则对于任意的元素 n，情况如下：

• 选择，此时需要判断前 n - 1 个元素之和能否等于 (sum - arr[n])
• 不选，此时需要判断前 n - 1 个元素之和能否等于 sum

递归的思路

递归退出条件：

• 找到第一个元素了，则将这个元素的值和 s 比较，并返回 true 或 false
• sum < 0，说明第 n 个元素太大，需要剔除，跳到 recursive(arr, n - 1, sum)
• sum = 0，说明第 n 个元素就是所求组合中的最后一个元素，返回 true

递归循环：

• 将 sum 减去当前元素，然后作为和，递归计算前一个元素
• 判断上面的返回值，如果是 true，则直接结束递归，返回 true
• 用 sum 递归计算前一个元素，并直接返回结果

int recursive(int arr[], int n, int sum) {
	if (n == 0)
	 	return arr[0] == sum;
	if (sum == 0)
		return 1;
	if (sum < arr[n])
		return recursive(arr, n - 1, sum);
	
	return recursive(arr, n - 1, sum) || recursive(arr, n - 1, sum - arr[n]);
}

动态规划的思路

有了上面的递归的思路后，再把递归转为动态规划。

初始化二维数组

上一个例子中，求非相邻元素最大和时，每个元素的位置上只需要保存当前元素的最大值，所以创建一个一维数组即可。而现在已知元素之和，

例如，对于集合 {3, 5, 9, 1, 2}，如果 sum = 6，则需要创建 dp_subset[5][7] 数组：

• 对于第一行，因为第一个元素是 3，所以其只可能等于 3（对应递归退出条件 if (i == 0) return arr[0] == sum;）
• 对于第一列，全部为 True（对应递归退出条件 if (sum == 0) return true;）

arr[i]	i sum	0	1	2	3	4	5	6
3	0	F	F	F	T	F	F	F
5	0	T
9	0	T
1	0	T
2	0	T

开始迭代

在已经初始化的二维数组基础上，参考递归体就可以完成迭代的代码。另外，还有一个递归结束条件也放在迭代里面。

• 创建一个二重循环，从第二行二列开始遍历数组
• 如果 arr[i] > sum（递归结束条件），则 dp_subset[i][s] = dp_subset[i - 1][s]（对应 if (arr[i] > sum) recursive(arr, n - 1， sum);
• 否则，判断 dp_subset[i - 1][s] 和 dp_subset[i - 1][s - arr[i]]，只要有一个是 true，就把 dp_subset[i][s] 置为 true

int dp_subset(int arr[], int n, 

完整示例

#include <stdio.h>

// 递归解法
int recursive(int arr[], int n, int sum) {
	if (n == 0)
	 	return arr[0] == sum;
	if (sum == 0)
		return 1;
	if (sum < arr[n])
		return recursive(arr, n - 1, sum);
	
	return recursive(arr, n - 1, sum) || recursive(arr, n - 1, sum - arr[n]);
}

// 动态规划
int dp_subset(int arr[], int n, int sum) {
	int subset[n][sum + 1];
	int i, s;
	for (i = 0; i < n; i++) {
		for (s = 0; s <= sum; s++)
			subset[i][s] = 0;
	}
	for (i = 0; i < n; i++) {
		subset[i][0] = 1;
	}
	subset[0][0] = 0;
	subset[0][arr[0]] = 1;
	
	for (i = 1; i < n; i++) {
		for (s = 1; s <= sum; s++) {
			if (arr[i] > sum) {
				subset[i][s] = subset[i - 1][s];
			} else {
				subset[i][s] = subset[i - 1][s] || subset[i - 1][s - arr[i]];
			}
		}
	}
	return subset[n - 1][sum];
}
	
int main() {
	int n = 7;
	int arr[] = {1, 2, 4, 7, 8, 3, 32};
	int sum = 3;

 	printf("recursive ret is: %d, dp_opt ret is: %d
", recursive(arr, n, sum), dp_subset(arr, n, sum));

	return 0;
}