【算法与数据结构】二叉堆和堆排序

构建二叉堆

二叉堆本身也是个二叉树，有两个限制：

• 堆必须是完全二叉树
• 堆中任一父结点的值大于其左右两子节点的值（大顶堆），或小于其左右两子节点的值（小顶堆）

因为完全二叉树中，数据排列顺序是从上而下，从左至右，所以可以用数组的形式保存数据。通常根结点作为数组的 0 号元素，其左右孩子分别是 2 号、3 号元素，以此类推。

保证一个元素符合要求

保证一个元素符合要求的过程，可以叫做 heapify。其顺序是：

1. 如果元素超限，退出
2. 比较元素值及其左右孩子结点的值（前提是有），如果元素值是最大的则无需交换，否则跟最大值交换
3. 回到第一步，递归比较元素的左右两个孩子

void swap(int tree[], int i, int j) {
    int tmp = tree[i];
    tree[i] = tree[j];
    tree[j] = tmp;
}
void heapify(int tree[], int n, int i) {
    if (i >= n) {
        return;
    }
    int max = i;
    int c1 = i * 2 + 1;
    int c2 = i * 2 + 2;
    if (c1 < n && tree[i] < tree[c1]) {
        max = c1;
    }
    if (c2 < n && tree[max] < tree[c2]) {
        max = c2;
    }
    if (max != i) {
        swap(tree, i, max);
    }
    heapify(tree, n, c1);
    heapify(tree, n, c2);
}

保证整个二叉树符合要求

每次 heapify 可以确保二叉树中的最大元素上移一层，所以需要对除最后一层外的所有元素逐个调用 heapify：

void heapifyAll(int tree[], int n) {
    int last = (n - 1) / 2;
    int i;
    for (i = last; i >= 0; i--) {
        heapify(tree, n, i);
    }
}

排序

二叉堆构建完成后，就可以对其进行排序了。步骤如下：

1. 交换根结点和最后一个结点
2. 结点个数减一，然后重新对根结点进行 heapify
3. 继续第一、二步，直到没有结点为止

void heapSort(int tree[], int n) {
    heapifyAll(tree, n);
    int i;
    for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
        swap(tree, 0, i);
        heapify(tree, i, 0);
    }
}

完整代码：

#include <stdio.h>

void swap(int tree[], int i, int j) {
    int tmp = tree[i];
    tree[i] = tree[j];
    tree[j] = tmp;
}
// 对单个结点堆化
void heapify(int tree[], int n, int i) {
    if (i >= n) {
        return;
    }
    int max = i;
    int c1 = i * 2 + 1;
    int c2 = i * 2 + 2;
    if (c1 < n && tree[i] < tree[c1]) {
        max = c1;
    }
    if (c2 < n && tree[max] < tree[c2]) {
        max = c2;
    }
    if (max != i) {
        swap(tree, i, max);
    }
    heapify(tree, n, c1);
    heapify(tree, n, c2);
}

// 对整个完全二叉树堆化
void heapifyAll(int tree[], int n) {
    int last = (n - 1) / 2;
    int i;
    for (i = last; i >= 0; i--) {
        heapify(tree, n, i);
    }
}

// 堆排序
void heapSort(int tree[], int n) {
    heapifyAll(tree, n);
    int i;
    for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
        swap(tree, 0, i);
        heapify(tree, i, 0);
    }
}
int main(void) {
    int i;
    int tree[6] = {3, 2, 5, 4, 7, 1};
    // heapify(tree, 6, 1);
    heapifyAll(tree, 6);


    printf("堆：
");
    for( i = 0; i < 6; i++) {
        printf("%d
", tree[i]);
    }
    heapSort(tree, 6);

    printf("新顺序：
");
    for( i = 0; i < 6; i++) {
        printf("%d
", tree[i]);
    }
    return 0;
}