进制转换

一、进制说明

1、十进制
    十进制使用十个数字（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）记数，基数为10，逢十进一。
    历史上第一台电子数字计算机ENIAC是一台十进制机器，其数字以十进制表示，并以十进制形式运算。设计十进制机器比设计二进制机器复杂得多。而自然界具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关，电路的通和断，电压的高和低等，非常适合表示计算机中的数。设计过程简单，可靠性高。因此，现在改为二进制计算机。

2、二进制
    二进制以2为基数，只用0和1两个数字表示数，逢2进一。
    二进制与遵循十进制数遵循一样的运算规则，但显得比十进制更简单。例如：
（1）加法：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0
（2）减法：0-0=0 1-1=0 1-0=1 0-1=1
（3）乘法：0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1
（4）除法：0/1=0 1/1=1，除数不能为0

3、八进制
    所谓八进制，就是其基数为8，基数值可以取0、1、2、3、4、5、6、7共8个值，逢八进一。
    八进制与十进制运算规则一样。那么为什么要用八进制呢？难道要设计八进制的计算机么？实际上，八进制与十六进制的引用，主要是为了书写和表示方便，因为二进制表示位数比较长。如：（1024）10 用二进制表示为 （10000000000）2，共有11个数字，用八进制表示为（2000）8。更重要的是，由于二进制与八进制存在在一种对等关系，每三位二进制与一位八进制数完全对等（23=8）。所以二进制和八进制在运算上无区别，而十进制不具备这一优点。

4、 十六进制
十六进制应用也是非常广泛的一种计数制。在使用者看来，十六进制是二进制数的一种更加紧凑的一种表示方法。
基数为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，逢十进一。在十六进制系统中，数值为10到15的数分别用A、B、C、D、E、F表示。

二进制数及与之等值的八进制、十进制和十六进制数
二进制 八进制 十进制 十六进制
0000 0 0 0
0001 1 1 1
0010 2 2 2
0011 3 3 3
0100 4 4 4
0101 5 5 5
0110 6 6 6
0111 7 7 7
1000 10 8 8
1001 11 9 9
1010 12 10 A
1011 13 11 B
1100 14 12 C
1101 15 13 D
1110 16 14 E
1111 17 15 F


二、进制转换

1、二进制与十进制数间的转换
（1）二进制转换为十进制
将每个二进制数按权展开后求和即可。请看例题：
把二进制数（101.101）2=1*2²+0*21+1*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3=（5.625）10

（2）十进制转换为二进制
一般需要将十进制数的整数部分与小数部分分开处理。

      整数部分计算方法：除2取余法 请看例题：
十进制数（53）10的二进制值为（110101）2 
     小数部分计算方法：乘2取整法，即每一步将十进制小数部分乘以2，所得积的小数点左边的数字（0或1）作为二进制表示法中的数字，第一次乘法所得的整数部分为最高位。请看例题：
将（0.5125）10转换成二进制：（0.5125）10=（0.101）2

0.5125:
*2  1.025     取整得1，剩0.025

*2  0.5         取整得0，剩0.5

*2  1            取整得1，剩0

(0.5125）10   = （0.101）2

2、八进制、十六进制与十六进制间的转换

八进制、十六进制与十六进制之间的转换方法与二进制，同十进制之间的转换方法类似。例如：

（73）8=7*8¹+3=（59）10

（0.56）8=5*8^-1+6*8^-2=(0.71875)10

(12A)16=1*16²+2*16¹+A*16⁰=(298)10

(0.3C8)16=3*16^-1+12*16^-2+8*16^-3=(0.142578125)10

十进制整数→→→→→八进制 方法：“除8取余”

十进制整数→→→→→十六进制 方法：“除16取余” 例如：

（171）10=（253）8

（2653）10=（A5D）16

十进制小数→→→→→八进制小数 方法：“乘8取整”

十进制小数→→→→→十六进制小数 方法：“乘16取整” 例如：

（0.71875）10=（0.56）8

(0.142578125)10=(0.3C8)16

3、非十进制数之间的转换

（1）二进制数与八进制数之间的转换

转换方法是：以小数点为界，分别向左右，每三位二进制数合成一位八进制数，或每一位八进制数展成三位二进制数，不足三位者补0。例如：

（423.45）8=（100 010 011.100 101）2

（1001001.1101）2=（001 001 001.110 100）2=（111.64）8

（2）二进制与十六进制转换

转换方法：以小数点为界，分别向左右，每四位二进制合成一位十六进制数，或每一位十六进制数展成四位二进制数，不足四位者补0。例如：

（ABCD.EF）16=（1010 1011 1100 1101.1110 1111）2

（101101101001011.01101）2=（0101 1011 0100 1011.0110 1000）2=（5B4B.68）16