[POJ1845]Sumdiv

这道题考察了三个数论的公式定理：

整数唯一分解定理：a=(p1^k1)*(p2^k2)**...*(pn^kn) (p(i)为质数)

因数和公式 (已知a=(p1^k1)*(p2^k2)**...*(pn^kn))，则A的所有因子之和为：sum = (1+p1+p1^2+...p1^k1)*(1+p2+p2^2+...p2^k2)*...*(1+pn+pn^2+...pn^kn)

同余模公式：

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int mod = 9901;
vector<LL> p;
vector<LL> k;
LL n, a, b;

//快速幂
LL quickmul(LL x, LL n) {
    LL ans = 1;
    LL t = x;
    while(n) {
        if(n & 1) {
            ans = (ans * t) % mod;
        }
        t = t * t % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

//分解质因数
void factor(LL n) {
    p.clear();
    k.clear();
    int nn = (int)sqrt(n*1.0);
    for(int i = 2; i <= nn; i+=2) {
        if(n % i == 0) {    //分解n,使n变为p1^k1*p2^k2+...pn^kn
            p.push_back(i);
            k.push_back(0);
            while(n % i == 0) {
                k.back()++;
                n = n / i;
            }
        }
        if(i == 2) {
            i--;
        }
        if(n == 1){
            break;
        }
    }
    if(n != 1) {    //特判质数
        p.push_back(n);
        k.push_back(1);
    }
}

//同余模公式
//(a+b)%m=(a%m+b%m)%m
//(a*b)%m=(a%m*b%m)%m
//二分求1+pi+pi^2+...+pi^n的和
LL modu(LL x,LL y) {  
    if(y == 0) {
        return 1;  
    }
    if(y % 2 == 0) {
        return (((modu(x,y/2-1)%mod)*((1+quickmul(x,y/2+1))%mod))%mod+quickmul(x,y/2)%mod)%mod;  
    }
    if(y % 2 != 0) {
        return (modu(x,y/2)%mod)*((1+quickmul(x,y/2+1))%mod)%mod;  
    }
}

void solve() {
    factor(a);  //分解a,使a = p1^k1*p2^k2+...pn^kn
    for(int i = 0; i < k.size(); i++) {
        k[i] = k[i] * b; //所以a^b = p1^(k1*b)*p2^(k2*b)...pn^(kn*b)
    }
    LL sum = 1;
    for(int i = 0; i < k.size(); i++) {
        sum = sum * modu(p[i], k[i]) % mod;
    }
    printf("%I64d
", sum);
}

int main() {
    while(~scanf("%d %d", &a, &b)) {
        solve();
    }
    return 0;
}