[蓝桥]地宫取宝（dp， 记忆化搜索）

问题描述
　　X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

　　地宫的入口在左上角，出口在右下角。

　　小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

　　走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

　　当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。

　　请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。
输入格式
　　输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

　　接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
输出格式
　　要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
样例输入
2 2 2
1 2
2 1
样例输出
2
样例输入
2 3 2
1 2 3
2 1 5
样例输出
14

dp，记忆化搜索可以免除一些不必要的计算。记录当前坐标和当前宝物数量还有当前持有最大价值。每次更新前要判断下一步是否满足条件

状态转移方程：

dp(i, j, k, v) = max (

　　dp(i+1, j, k, v) + dp(i, j+1, k, v) (G(i, j) <= v),

　　dp(i+1, j, k+1, G(i, j)) + dp(i, j+1, k+1, G(i, j)) + dp(i+1, j, k, v) + dp(i, j+1, k, v) (G(i, j) > v)

)

代码如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <complex>
#include <fstream>
#include <cassert>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <ctime>
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;
const ll maxn = 55;
const ll mod = 1000000007;
int n, m, kk;
ll G[maxn][maxn];
ll dp[maxn][maxn][15][15];

ll dfs(ll i, ll j, ll k, ll v) {
    if(dp[i][j][k][v+1] != -1) return dp[i][j][k][v+1];
    if(i == n - 1 && j == m - 1) {
        if(k == kk) return dp[n-1][m-1][k][v+1] = 1;
        else if(k == kk - 1 && G[n-1][m-1] > v) return dp[n-1][m-1][k][v+1] = 1;
        else return dp[n-1][m-1][k][v+1] = 0;
    }
    ll s = 0;
    if(G[i][j] > v) {
        if(i + 1 < n) s = ((s + dfs(i+1, j, k+1, G[i][j])) % mod + dfs(i+1, j, k, v) % mod) % mod;
        if(j + 1 < m) s = ((s + dfs(i, j+1, k+1, G[i][j])) % mod + dfs(i, j+1, k, v) % mod) % mod;
    }
    else {
        if(i + 1 < n) s = (s + dfs(i+1, j, k, v) % mod) % mod;
        if(j + 1 < m) s = (s + dfs(i, j+1, k, v) % mod) % mod;
    }
    return dp[i][j][k][v+1] = s;
}

int main() {
    // freopen("in", "r", stdin);
    while(~scanf("%d %d %d", &n, &m, &kk)) {
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        for(ll i = 0; i < n; i++) {
            for(ll j = 0; j < m; j++) {
                scanf("%d", &G[i][j]);
            }
        }
        dfs(0, 0, 0, -1);
        printf("%I64d
", dp[0][0][0][0]);
    }
    return 0;
}