【树】全局平衡二叉树

全局平衡二叉树

学习资料：博客1，博客2

注：博客1讲得比较详细，博客2的代码和博客1区别。

时间复杂度：(mathcal{O(nlogn)})

但是 常数比较大（但也没有LCT那么大）！虽然树链剖分的时间复杂度是 (mathcal{O(n logn^2)})，但是树链剖分有时会更快。复杂度允许下，能用树剖还是用树剖好。

作用：

全局平衡二叉树是静态树，即区别于LCT，建成后，树的形态不变。同树链剖分，可用于树的修改和查询。

构造：

跟树剖类似，求出树的重儿子（重链）。

对于每一根重链（一根，即 从链头到链尾），建一棵平衡二叉树，然后将链头节点的父亲用作二叉树的根的父亲。对于每一根轻链，直接保存其父亲为原始父亲。

在构建平衡二叉树时，以结点的轻儿子子树总和+1的大小作为权重，亦即，以 (siz[u]-siz[son[u]]) 作为节点 (u) 的权重。

构建时需保留在新树中：

• 所有节点的父亲： (tfa[u])
• 重节点的左右儿子：(ch[u][0]) ，(ch[u][1])
• 根据需要，保留节点深度：(dep[u])
• 根据需要，保留当前节点子树的信息：(val[u]/sum[u]/mi[u]...)

过程：

• 处理出 (lsiz) 和 (son)

  int siz[maxn],lsiz[maxn],son[maxn];
  void dfs(int u,int f)
  {
      siz[u]=1;
      for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
          if(to[i]!=f){
              dfs(to[i],u);
              siz[u]+=siz[to[i]];
              if(siz[to[i]]>siz[son[u]])son[u]=to[i];
          }
      lsiz[u]=siz[u]-son[u];
  }//处理出lsiz和son
  

• 建树

  int tfa[maxn],ch[maxn][2],dep[maxn];
  int si[maxn],vsi[maxn],tot;//si存重链节点序列 vsi是重链节点序列权值(即lsiz)前缀和
  bool vis[maxn];
  int update(int u){}//更新节点信息 比如 mi[u]=min(val[u],mi[ch[u][]]);
  int pushup(int u){
      if(!u)return;
      if(getson(u)!=-1)update(u);// 节点u是其父亲的左儿子或右儿子
  }
  int sbuild(int l,int r,int d)//先看build 再看sbuild
  {
      if(l>r)return 0;
      int mid=lower_bound(vsi+l,vsi+r+1,vsi[r]+vsi[l]>>1)-vsi;
      int u=si[mid];dep[u]=d;
      if(ch[u][0]=sbuild(1,mid-1,d+1))tfa[ch[u][0]]=u;
      if(ch[u][1]=sbuild(mid+1,r,d+1))tfa[ch[u][1]]=u;
      update(u);
  }
  int build(int u,int d)
  {
      int pos;
      for(pos=u,tot=0;pos;pot=son[pos]){
          si[++tot]=pos;vsi[tot]=vsi[tot-1]+lsiz[pos];vis[pos]=1;
      }//当前点必是重链头节点 然后保存重链序列
      int rt=sbuild(1,tot,d);//对当前重链建平衡树
      for(pos=u;pos;pos=son[u])
          for(int i=head[pos];i;i=nxt[i])
              if(!vis[to[i]])//非重儿子 即 新的重链头
                  tfa[build(to[i],dep[pos]+1)]=pos;//当前节点作为 建成的子平衡树的根 的父亲
  }
  

• 查询

  找到的几个全局平衡树的博客都是luogu动态dp的这个例题，即 查询是对子树的查询，对子树的查询，在建树和更新过程中重要保存好子树信息，查询时直接输出即可。

  而对于链的查询，比如查询链 ((u,v)) 的点权和，或者链 ((u,v)) 的点权最值，则需要 (log) 。

  找不到相关博客，想到的方法或许不是最优。具体如下：

  • 需要先用 (st) 表 预处理原树的 (lca) ，用来 (mathcal{O(1)}) 计算两点间距离。设 (pu=u,pv=v)

  • 对于 (u,v) ，同树剖一样，每次处理都是处理 (dep) 较大的节点，然后计算信息后向上处理。

  • 对于当前节点为 (u) 且 (u) 在链上，判断 (tfa[u]) 是否在 链 ((pu,pv)) 上，且设

    [x=(ch[tfa[u]][1]==u)?1:(ch[tfa[u]][0]==u?0:-1) ]

    • (tfa[u]) 在链上，则 (tfa[u]) 和 (u) 可能在同一棵或不同一棵平衡树上，即 (x) 是否等于 -1​。

      假如 (x==-1)，则需计算 (ch[u][0]) 的子树信息。否则 计算 (ch[u][x)^(1]) 的子树信息。

      再计算 (tfa[u]) 的节点信息

    • (tfa[u]) 不在链上，则 (tfa[u]) 和 (u) 必定在同一棵平衡二叉树上。只需计算 (ch[u][x]) 的子树信息。

  • 令 (u=tfa[u]) 。

  具体代码如下：

  inline bool getson(int x){
      return (ch[tfa[x]][1]==x)?1:((ch[tfa[x]][0]==x)?0:-1);
  }
  inline bool online(int u,int v,int po){
      returndis(u,po)+dis(v,po)==dis(u,v);
  }
  //比如计算 链u v之间的最小点权
  int cal(int u,int v)
  {
      int x,pu=u,pv=v;bool juu=1,juv=1,juf;
      int res=min(val[u],val[v]);
      while(u!=v)
      {
          if(dep[u]<dep[v])swap(u,v),swap(juu,juv);
          x=getson(u);
          juf=online(pu,pv,tfa[u]);
          if(!juf&&juu){
              if(ch[u][x])res=min(res,mi[ch[u][x]]);
          }else if(juf&&juu){
              if(x==-1)res=min(res,mi[ch[u][0]]);
              else res=min(res,mi[ch[u][x^1]]);
              res=min(res,val[tfa[u]])
          }
          u=tfa[u];juu=juf;
      }
      return res;
  }
  

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一道例题的代码（虽然因为常数过大而超时，树剖反而不超时

hdu6765(2020多校2C)

//#pragma GCC optimize(2)
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b) 
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e5+5;

char buf[1<<20],*P1=buf,*P2=buf;
//#define gc() (P1==P2&&(P2=(P1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),P1==P2)?EOF:*P1++)
#define gc() getchar()
#define TT template<class T>inline
TT void read(T&x){
    x=0;register char c=gc();register bool f=0;
    while(c<48||c>57){f^=c=='-',c=gc();}
    while(47<c&&c<58)x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=gc();
    if(f)x=-x;
}

int to[maxn<<1],nxt[maxn<<1];
int head[maxn],ecnt;
inline void addedge(int u,int v)
{
    to[++ecnt]=v;nxt[ecnt]=head[u];
    head[u]=ecnt;
}
int depth[maxn<<1],id[maxn],rid[maxn<<1],cnt,st[maxn<<1][25];
void dfs(int u,int f,int d)
{
    id[u]=++cnt;rid[cnt]=u;depth[cnt]=d;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
        if(to[i]!=f){
            dfs(to[i],u,d+1);
            rid[++cnt]=u;depth[cnt]=d;
        }
}
int lg[maxn<<1];
void init()
{
    lg[0]=-1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)st[i][0]=i;
    for(int j=1;(1<<j)<=cnt;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=cnt;i++)
            st[i][j]=depth[st[i][j-1]]<depth[st[i+(1<<j-1)][j-1]]?
                     st[i][j-1]:
                     st[i+(1<<j-1)][j-1];
}
inline int lca(int u,int v)
{
    if(id[u]>id[v])swap(u,v);
    int s=id[u],t=id[v],len=lg[t-s+1];
    return depth[st[s][len]]<depth[st[t-(1<<len)+1][len]]?rid[st[s][len]]:rid[st[t-(1<<len)+1][len]];
}
inline int dis(int u,int v){
    return depth[id[u]]+depth[id[v]]-(depth[id[lca(u,v)]]<<1);
}

//gbbt
int siz[maxn],lsiz[maxn],son[maxn];
void dfs1(int u,int f)//处理son和lsiz 的信息
{
    siz[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
        if(to[i]!=f){
            dfs1(to[i],u);
            siz[u]+=siz[to[i]];
            if(siz[to[i]]>siz[son[u]])son[u]=to[i];
        }
    lsiz[u]=siz[u]-siz[son[u]];
}
int col[maxn];
int tfa[maxn],ch[maxn][2];
const int N=30;
unsigned int mi[maxn][N],val[maxn][N];
inline void update(int u){
    for(int i=0;i<N;i++){
        mi[u][i]=val[col[u]][i];
        if(ch[u][0])mi[u][i]=min(mi[u][i],mi[ch[u][0]][i]);
        if(ch[u][1])mi[u][i]=min(mi[u][i],mi[ch[u][1]][i]);
    }
}
inline int getson(int x){return (ch[tfa[x]][1]==x)?1:((ch[tfa[x]][0]==x)?0:-1);}
void pushup(int u){ 
    update(u);
    if(getson(u)!=-1)pushup(tfa[u]);
}
int si[maxn],tot;ll vsi[maxn];
int dep[maxn];bool vis[maxn];
int sbuild(int l,int r,int d)
{
    if(l>r)return 0;
    int mid=lower_bound(vsi+l,vsi+r+1,vsi[r]+vsi[l-1]>>1)-vsi;
    int u=si[mid];dep[u]=d;
    if(ch[u][0]=sbuild(l,mid-1,d+1))tfa[ch[u][0]]=u;
    if(ch[u][1]=sbuild(mid+1,r,d+1))tfa[ch[u][1]]=u;
    update(u);
    return u;
}
int build(int u,int d)
{
    int pos;
    for(pos=u,tot=0;pos;pos=son[pos]){
        si[++tot]=pos;vsi[tot]=vsi[tot-1]+lsiz[pos];
        vis[pos]=1;
    }
    int rt=sbuild(1,tot,d);
    for(pos=u;pos;pos=son[pos])
        for(int i=head[pos];i;i=nxt[i])
            if(!vis[to[i]])
                tfa[build(to[i],dep[pos]+1)]=pos;
    return rt;
}
inline bool online(int u,int v,int po){
    return dis(u,po)+dis(v,po)==dis(u,v);
}
unsigned int tmp[N];
ll cal(int u,int v)
{
    int x,pu=u,pv=v;bool juu=1,juv=1,fju;
    for(int i=0;i<N;i++)tmp[i]=min(val[col[u]][i],val[col[v]][i]);
    while(u!=v)
    {
        if(dep[u]<dep[v])swap(u,v),swap(juu,juv);//dep u > dep v
        x=getson(u);
        fju=online(pu,pv,tfa[u]);
        if(!fju){
            if(juu&&ch[u][x]){
                for(int i=0;i<N;i++)
                    tmp[i]=min(tmp[i],mi[ch[u][x]][i]);
            }
        }else{
            if(juu&&x==-1&&ch[u][0]){
                for(int i=0;i<N;i++)
                    tmp[i]=min(tmp[i],mi[ch[u][0]][i]);
            }
            else if(juu&&x!=-1&&ch[u][x^1]){
                x^=1;
                for(int i=0;i<N;i++)
                    tmp[i]=min(tmp[i],mi[ch[u][x]][i]);
            }
            for(int i=0;i<N;i++)
                tmp[i]=min(tmp[i],val[col[tfa[u]]][i]);
        }
        juu=fju;u=tfa[u];
    }
    ll sum=0;
    for(int i=0;i<N;i++)sum+=tmp[i];
    return sum;
}
mt19937 mt(time(0));
int main()
{
//    freopen("C:\Users\admin\Desktop\tmp\1003.in","r",stdin);
//    freopen("C:\Users\admin\Desktop\tmp\1003out.txt","w",stdout);
    for(int i=0;i<maxn;i++)
        for(int j=0;j<N;j++)val[i][j]=mt();
    int T;
    read(T);
    while(T--)
    {
        int n,m,u,v,rt,lans=0;
        read(n);read(m);
        for(int i=tot=ecnt=cnt=0;i<=n;i++)
            vis[i]=vsi[i]=head[i]=dep[i]=tfa[i]=son[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)read(col[i]);
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            read(u);read(v);
            addedge(u,v);addedge(v,u);
        }
        dfs(1,0,0);init();dfs1(1,0);build(1,1);
        int op,x,y;ll sum1,sum2;
        while(m--)
        {
            read(op);read(x);read(y);
            if(op==1){
                x^=lans;y^=lans;
                col[x]=y;pushup(x);
            }else if(op==2){
                read(u);read(v);
                x^=lans;y^=lans;u^=lans;v^=lans;
                sum1=cal(x,y);sum2=cal(u,v);
                if(sum1<sum2)puts("Yes"),lans++;
                else puts("No");
            }
        }
    }
}