【数论】整理关于ax+by=c

整理关于 ( m{ax+by=c})，遇到的一系列

在这里，(x) ，(y) 是变量，(a,;b,;c) 是常量

前置：

1. 对于二元一次不定方程 (ax+by=c)，有整数解的充要条件是 ((a,b)|c) ；

2. 设 (a=frac a{gcd(a,b)}), (b=frac b{gcd(a,b)})，(c=frac c{gcd(a,b)})，则此时 (gcd(a,b)=1)；

3. 若 (gcd(a,b)=1)，且不定方程 (ax+by=c) 有整数解 (x=x_0,\,y=y_0) ，则它的一切整数解可表示成：

   [x=x_0+bt\y=y_0-at;(tin m Z) ]

4. exgcd可求得 (ax+by=gcd(a,b))的特解，(x_0,\,y_0)

5. 所以 (ax+by=c)的特解可表示成 :

   [x_0=x_0cdotfrac{c}{gcd(a,b)}=x_0cdot c\ y_0=y_0cdotfrac{c}{gcd(a,b)}=y_0cdot c ]

6. 由 ( m 3)可得 (ax+by=c) 的通解 (x,\,y)

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设以下， (ax+by=c) 中，均是 (gcd(a,b)=1)。

1,求 ( m{ax+by=c}), (x)的最小正整数解

设 (x_1) 为 (x) 的最小正整数解，则 (x_1) :

[x_1=(x\%b+b)\%b\ 对应;;y_1=frac{c-a*x_1}b ]

2, 求 ( m{ax+by}) 的最大不可解 ( m c)，且满足 ( m{x>0,y>0}) : ( m{c=a imes b})

3, 求 ( m{ax+by}) 的最大不可解 ( m c) , 且满足 ( m{xgeq0,ygeq0}) : ( m{c=a imes b-a-b})

2,3的证明见洛谷P3951题解

4,求 ( m{ax+by+cz=k}) 的任意一组解，且满足 ( m{xgeq0,ygeq0,zgeq0}) :

​ 其中：(1leq a,b,cleq10^5 ,0leq kleq 10^{12}) ，保证数据有解

​ (ax+by=k-cz) 有解的前提是 (gcd(a,b)|(k-cz))，则需枚举z使得满足条件(gcd(a,b)|(k-cz))下，可解的符合的 (x,\,y)。

​ 设 (g=gcd(a,b)) (ec=k\%g)，则所求的 (z) 需满足(zc-tg=ec)，且 (zgeq0)。

​ 所以求出最小 (z)，再枚举满足通项公式的 (z)，直到有解。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=2e5+5;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ll g=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return g;
}

void solve(ll a,ll&b,ll c,ll&x,ll&y)
{
    ll g=__gcd(a,b),x0,y0;
    a/=g;b/=g;c/=g;
    exgcd(a,b,x0,y0);
    x0*=c;y0*=c;
    x=x0+b;//y=y0-a;
    x=(x%abs(b)+abs(b))%abs(b);y=(c-a*x)/b;
}

int main()
{
    ll a,b,c,k,g,ec,x,y,z,t,tb,tk,ttb;
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&k);
    g=__gcd(a,b);
    ec=k%g;
    tb=-g;
    solve(c,tb,ec,z,t);
    tb=abs(tb);
    do{
        tk=k-z*c;ttb=b;
        solve(a,ttb,tk,x,y);
        if(x>=0&&y>=0)
        {
            printf("%lld %lld %lld
",x,y,z);
            break;
        }
        z+=tb;
    }while(1);
}