线性基

线性基

基本概念：

线性基的概念见：https://oi.men.ci/linear-basis-notes/

通俗的讲就是给定你由N个整数构成的整数序列，你可以从中选取一些（至少一个）进行异或（(XOR)）运算，从而得到很多不同的结果。你能将这(N)个整数压缩成另一个序列，取其中的进行异或（(XOR)），得到的结果和之前相同，其中(a[i])二进制的最高位的(1)在第(i)位，且满足一下特殊的性质，这就是线性基。

构造线性基：

实现：将整数x插入线性基，将整数x二进制从最高位开始往后枚举，找到最高位i的"1",判断是否能插入bas[i]，若不能将x^bas[i],然后继续往后找。

ll bas[N];
int sz=64;
bool insert(ll x){
    for(int i=sz;i>=1;i--){
        if((x&(1ll<<(i-1)))==0) continue;
        if(bas[i]) x^=bas[i];
        else bas[i]=x;return true;
    }
    return false;
}

高斯消元版。

bool insert(ll x){
    for(int i=sz;i>=1;i--){
        if((x&(1ll<<(i-1)))==0) continue;
        
        if(bas[i]){
        //若如主元j已经存在，用a[j]消去x的第j位然后继续
        	x^=bas[i];
            continue;
        }
        for(int j=1;j<=i-1;j++){
 		//让x当主元i，需要先用第j(j<i)个主元消去x的第j位
 			if(x&(1ll<<(j-1))) x^=bas[j];
        }
        for(int j=i+1;j<=sz;j++){
        //接着用x去消掉第j(j>i)个主元的第i位
            if(bas[j]&(1ll<<(i-1))) bas[j]^=x;  
        }
        bas[i]=x;
        return true;
    }
    return false;
}

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线性基相关性质

1.求任意子集xor最大值：把线性基中所有元素xor起来。

ll qryMax(){
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=sz;i++){
        ans^=bas[i];
    }
    return ans;
}

2.求任意子集xor最小值: 等于最小的主元。

ll qryMin(){
    for(int i=1;i<=sz;i++){
    	if(bas[i]) return bas[i];    
    }
}

3.查询第k小的值:把k进行二进制分解，把1对应位置的主元xor起来,注意这里第0小就是0。

//快速幂
ll ksm(ll x,ll p){
    ll res=1;
    while(p){
        if(p%2==1) res*=x;
        p/=2;
        x=x*x;
    }
    return res;
}
 
ll qry(ll k){
    if(ok) k--; //判断值域是否有0，有0则0为第1小
    if(k<=0) return 0;
    int cnt=count;//线性基大小
    ll res=0;
    for(int i=sz;i>=1;i--){
        if(bas[i]==0) continue;
        cnt--;
        if(k-ksm(2,cnt)<0) continue;
        res^=bas[i];//将k二进制拆分后1的位置
        k-=ksm(2,cnt);
    }
    if(k) return -1;//不存在的k小
    else return res;
}

4.查询x是否在值域中: 如果x能插入线性基，则x不能被当前线性基xor出来。

5.求任意子集与x进行xor的最大值：从高->低贪心，若xor上a[j]能变大就xor。

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