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过节福利，我们来深入理解下L1与L2正则化。
1 正则化的概念
- 正则化(Regularization) 是机器学习中对原始损失函数引入额外信息，以便防止过拟合和提高模型泛化性能的一类方法的统称。也就是目标函数变成了原始损失函数+额外项，常用的额外项一般有两种，英文称作ℓ1−normℓ1−norm和ℓ2−normℓ2−norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数（实际是L2范数的平方）。
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L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓惩罚是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。
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线性回归L1正则化损失函数：
minw[∑i=1N(wTxi−yi)2+λ∥w∥1]........(1)minw[∑i=1N(wTxi−yi)2+λ‖w‖1]........(1) -
线性回归L2正则化损失函数：
minw[∑i=1N(wTxi−yi)2+λ∥w∥22]........(2)minw[∑i=1N(wTxi−yi)2+λ‖w‖22]........(2) - 公式(1)(2)中ww表示特征的系数（xx的参数），可以看到正则化项是对系数做了限制。L1正则化和L2正则化的说明如下：
- L1正则化是指权值向量ww中各个元素的绝对值之和，通常表示为∥w∥1‖w‖1。
- L2正则化是指权值向量ww中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为∥w∥22‖w‖22。
- 一般都会在正则化项之前添加一个系数λλ。Python中用αα表示，这个系数需要用户指定（也就是我们要调的超参）。
2 正则化的作用
- L1正则化可以使得参数稀疏化，即得到的参数是一个稀疏矩阵，可以用于特征选择。
- 稀疏性，说白了就是模型的很多参数是0。通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，很多参数是0，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，即使去掉对模型也没有什么影响，此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这相当于对模型进行了一次特征选择，只留下一些比较重要的特征，提高模型的泛化能力，降低过拟合的可能。
- L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合。
3 L1正则化与稀疏性
- 事实上，”带正则项”和“带约束条件”是等价的。
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为了约束w的可能取值空间从而防止过拟合，我们为该最优化问题加上一个约束，就是w的L1范数不能大于m：
{min∑Ni=1(wTxi−yi)2s.t.∥w∥1⩽m.........(3){min∑i=1N(wTxi−yi)2s.t.‖w‖1⩽m.........(3) - 问题转化成了带约束条件的凸优化问题，写出拉格朗日函数:
∑i=1N(wTxi−yi)2+λ(∥w∥1−m)........(4)∑i=1N(wTxi−yi)2+λ(‖w‖1−m)........(4) -
设W∗W∗和λ∗λ∗是原问题的最优解，则根据KKTKKT条件得：
{0=∇w[∑Ni=1(WT∗xi−yi)2+λ∗(∥w∥1−m)]0⩽λ∗.........(5){0=∇w[∑i=1N(W∗Txi−yi)2+λ∗(‖w‖1−m)]0⩽λ∗.........(5) - 仔细看上面第一个式子，与公式(1)其实是等价的，等价于(3)式。
- 设L1正则化损失函数：J=J0+λ∑w|w|J=J0+λ∑w|w|，其中J0=∑Ni=1(wTxi−yi)2J0=∑i=1N(wTxi−yi)2是原始损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，λλ是正则化系数。
- 注意到L1正则化是权值的绝对值之和，JJ是带有绝对值符号的函数，因此JJ是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0J0后添加L1正则化项时，相当于对J0J0做了一个约束。令L=λ∑w|w|L=λ∑w|w|，则J=J0+LJ=J0+L，此时我们的任务变成在LL约束下求出J0J0取最小值的解。
- 考虑二维的情况，即只有两个权值w1w1和w2w2，此时L=|w1|+|w2|L=|w1|+|w2|对于梯度下降法，求解J0J0的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数LL也可以在w1w1、w2w2的二维平面上画出来。如下图：
- 上图中等值线是J0J0的等值线，黑色方形是LL函数的图形。在图中，当J0J0等值线与LL图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0J0与LL在LL的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w2)(w1,w2)=(0,w2)。可以直观想象，因为LL函数有很多突出的角（二维情况下四个，多维情况下更多），J0J0与这些角接触的机率会远大于与LL其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于00，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。
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而正则化前面的系数λλ，可以控制LL图形的大小。λλ越小，LL的图形越大（上图中的黑色方框)；λλ 越大，LL的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w1,w2)=(0,w2)(w1,w2)=(0,w2)中的w2w2可以取到很小的值。
- 同理，又L2正则化损失函数：J=J0+λ∑ww2J=J0+λ∑ww2,同样可画出其在二维平面的图像，如下：
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二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0J0与LL相交时使得w1w1或w2w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。
4 L2正则化为什么能防止过拟合
- 拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是抗扰动能力强。
- 为什么L2正则化可以获得值很小的参数?
- (1) 以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θθ，hθ(x)hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：
Jθ=12n∑i=1n(hθ(x(i))−y(i))2........(6)Jθ=12n∑i=1n(hθ(x(i))−y(i))2........(6) - (2)在梯度下降中θθ的迭代公式为：
θj=θj−α1n∑i=1n(hθ(x(i))−y(i))x(i)j........(7)θj=θj−α1n∑i=1n(hθ(x(i))−y(i))xj(i)........(7) - (3) 其中αα是learning rate。 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式为：
θj=θj(1−αλn)−α1n∑i=1n(hθ(x(i))−y(i))x(i)j........(8)θj=θj(1−αλn)−α1n∑i=1n(hθ(x(i))−y(i))xj(i)........(8) - 其中λλ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θjθj都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θjθj不断减小，因此总得来看，θθ是不断减小的。
最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。
5 正则化项的参数选择
- L1、L2的参数λλ如何选择好?
- 以L2正则化参数为例：从公式(8)可以看到，λ越大，θjθj衰减得越快。另一个理解可以参考L2求解图， λλ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小；当然也不是越大越好，太大容易引起欠拟合。
- 经验
从0开始，逐渐增大λλ。在训练集上学习到参数，然后在测试集上验证误差。反复进行这个过程，直到测试集上的误差最小。一般的说，随着λλ从0开始增大，测试集的误分类率应该是先减小后增大，交叉验证的目的，就是为了找到误分类率最小的那个位置。建议一开始将正则项系数λ设置为0，先确定一个比较好的learning rate。然后固定该learning rate，给λλ一个值（比如1.0），然后根据validation accuracy，将λ增大或者减小10倍，增减10倍是粗调节，当你确定了λλ的合适的数量级后，比如λ=0.01λ=0.01，再进一步地细调节，比如调节为0.02，0.03，0.009之类。