浅谈扫描线算法的应用
关于扫描线
扫描线严格来说是一种思想（说了等于没说系列
本蒟蒻在看其他人博客的时候学的一脸蒙蔽，在刷了几道题目之后才略有感触
扫描线可以理解为在处理二维平面时将平面分割为数条平行线段，再通过数据结构动态维护各线段求解一类平面问题（包括不限于矩形面积的交并）
基本方法是将平行于坐标轴的矩形（博主能力有限只能处理到这种程度）分解为（看作）数条与y轴平行的线段，再以x轴为基准将扫描线缓慢向右推进，每推进一步更新线段左右端点。
通常结合离散化食用
直接上题目吧QwQ，结合题目分析扫描线应用
各位期待已久（并没有）的例题
题目概述：有一些矩形，底在x轴上，给出左右端点和高度，彼此之间可能有重叠部分，求轮廓覆盖的总面积（求矩形面积并）
分析：
首先离散化大家都懂，将x轴和y轴全部离散，再开一个数组记录离散后大小对应的真实大小，这里还是贴一下离散的代码防止后面有不理解的变量
n=read();
for(int x,y,h,i=1;i<=n;++i)
{
x=read(),y=read();h=read();
e[++tot].x=x;
e[tot].h=h;
e[tot].id=i;
e[++tot].x=y;
e[tot].h=h;
e[tot].id=i;
}
e[0].x=e[0].h=-1e9+7;//防止有 0 存在
sort(e+1,e+tot+1,cmq);//x轴离散
for(int i=1;i<=tot;++i)
{
++totx;
dis[totx]=e[i].x;
int now=e[i].id;
a[now].x==0?a[now].x=totx:a[now].y=totx;
}
sort(e+1,e+tot+1,cmp);//y轴离散
for(int i=1;i<=tot;++i)
{
if(e[i].h^e[i-1].h)
{
++toty;
up[toty]=e[i].h;
}
int now=e[i].id;
a[now].h=toty;
}
e[0].h=0;
下一步，我们需要将每条线段插入合适的地方，这里可以用到差分的思想，我们将每条线段对应的左端点在对应x轴位置上打上一个标记，扫描线遇到这个标记就将其插入数据结构中，在右端点再打上另一个标记，扫描线遇到就将线段删除，这里可以用vector数组实现
for(int i=1;i<=n;++i)
{
int l=a[i].x;
int r=a[i].y;
ad[l].push_back(i);//插入 标记
cd[r].push_back(i);//删除 标记
}
接下来就是扫描线推进的过程了，其实只要一个循环模拟就够了，每次利用线段树维护线段左右端点，由于本题目下端点一律是x轴，所以只要维护上端点就够了
for(int i=1;i<=totx;++i)
{
int sum=cd[i].size();
for(int k=0;k<sum;++k)// 检查 删除 标记
{
int now=cd[i][k];
update(1,toty,1,a[now].h,-1);//-1 删除 线段
}
sum=ad[i].size();
for(int k=0;k<sum;++k)// 检查 插入 标记
{
int now=ad[i][k];
update(1,toty,1,a[now].h,1); // 1 插入 线段
}
int len=query(1,toty,1);
if(dis[i+1]-dis[i]>=0)
res+=(dis[i+1]-dis[i])*up[len];// 计算 答案
}
printf("%lld
",res);
关于线段树的维护方法：
我们以y轴坐标为叶子结点，建立一颗权值线段树，每次更新将对应节点数组+1，在区间中，>0表示该节点当前被线段覆盖，==0表示该节点目前没有线段
再根据线段树二分的特性，每次我们只要找到最右边有数字的叶子节点，就可以知道矩形上端点在哪里了
更新操作与一般线段树相同就不放了，这里放下查询
inline int query(int l,int r,int p)
{
if(l==r) return ans[p]?l:0;//注意 特判 0 ！！！
int mid=(l+r)>>1;
if(ans[rs(p)])
return query(mid+1,r,rs(p));
else
return query(l,mid,ls(p));
}
这样矩形面积的交基本结束QwQ 求并的方法类似，只要记录区间线段覆盖最大值就可以找到左右端点QwQ
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博客根据作者能力不定期更新，也许下次再见就更丰富了呢