多项式除法

P4512 【模板】多项式除法

给定一个(n)次多项式(F(x))和一个(m)次多项式(G(x))，请求出多项式(R(x),R(x))，满足：

(Q(x))次数为(n-m)，(R(x))次数小于(m)

(F(x)=Q(x)*G(x)+R(x))

前置芝士：多项式乘法逆

假设对于任意多项式(A(x))，有(A_R(x)=x^nA(frac{1}{x}))

展开一下可以发现，(A_R(x))就是将(A(x))各项系数翻转

大力化式子

[F(x)=Q(x)*G(x)+R(x) ]

代入(x=frac{1}{x})

[F(frac{1}{x})=Q(frac{1}{x})*G(frac{1}{x})+R(frac{1}{x}) ]

两边日上一个(x^n)，右边稍微分布一下

[x^n*F(frac{1}{x})=x^{n-m}*Q(frac{1}{x})*x^{m}*G(frac{1}{x})+x^{n-m+1}*x^{m-1}*R(frac{1}{x}) ]

用刚才那个逆向操作

[F_R(x)=Q_R(x)*G_R(x)+x^{n-m+1}*R_R(x) ]

先考虑求(Q)，由于(Q)最高次是(n-m)，我们模上一个(x^{n-m+1})

[F_R(x)equiv Q_R(x)*G_R(x)+x^{n-m+1}*R_R(x) (mod x^{n-m+1}) ]

发现右边有个(x^{n-m+1}*R_R(frac{1}{x}))，可以被模掉

[F_R(x)equiv Q_R(x)*G_R(x) (mod x^{n-m+1}) ]

[Q_R(x)equiv F_R(x)*G_R^{-1}(x) (mod x^{n-m+1}) ]

我们求一个(G_R)的乘法逆，就可以求出(Q_R)了

最初的式子

[F(x)=Q(x)*G(x)+R(x) ]

变形

[R(x)=F(x)-Q(x)*G(x) ]

完成，注意多项式加减法直接在系数上进行……

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define eps (1e-8)
	inline int read()
	{
		int x=0;char ch,f=1;
		for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
		if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
		while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
		return f?x:-x;
	}
	const int N=5e5+10,p=998244353,G=3,gi=332748118;
	int n,m;
	int f[N],g[N],grn[N],c[N];
	int gr[N],fr[N],q[N];
	int pos[N];
	inline int fast(int x,int k)
	{
		int ret=1;
		while(k)
		{
			if(k&1) ret=ret*x%p;
			x=x*x%p;
			k>>=1;
		}
		return ret;
	}
	inline void ntt(int limit,int *a,int inv)
	{
		for(int i=0;i<limit;++i)
			if(i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);
		for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
		{
			int Wn=fast(inv?G:gi,(p-1)/(mid<<1));
			for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r)
			{
				int w=1;
				for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn%p)
				{
					int x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%p;
					a[j+k]=x+y;
					if(a[j+k]>=p) a[j+k]-=p;
					a[j+k+mid]=x-y;
					if(a[j+k+mid]<0) a[j+k+mid]+=p;
				}
			}
		}
		if(inv) return;
		inv=fast(limit,p-2);
		for(int i=0;i<limit;++i) a[i]=a[i]*inv%p;
	}
	inline void poly_inv(int pw,int *a,int *b)
	{
		if(pw==1) {b[0]=fast(a[0],p-2);return;}
		poly_inv((pw+1)>>1,a,b);
		int len=0,limit=1;
		while(limit<(pw<<1)) limit<<=1,++len;
		for(int i=0;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
		for(int i=0;i<pw;++i) c[i]=a[i];
		for(int i=pw;i<limit;++i) c[i]=0;
		ntt(limit,c,1);ntt(limit,b,1);
		for(int i=0;i<limit;++i) b[i]=((2-c[i]*b[i]%p)+p)%p*b[i]%p;
		ntt(limit,b,0);
		for(int i=pw;i<limit;++i) b[i]=0;
	}
	inline void main()
	{
		n=read(),m=read();
		for(int i=0;i<=n;++i) f[i]=fr[n-i]=read();
		for(int i=0;i<=m;++i) g[i]=gr[m-i]=read();
		for(int i=n-m+2;i<=m;++i) gr[i]=0;
		poly_inv(n-m+1,gr,grn);
		int limit=1,len=0;
		while(limit<=n+n)	limit<<=1,++len;
		for(int i=0;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
		ntt(limit,fr,1);ntt(limit,grn,1);
		for(int i=0;i<limit;++i) fr[i]=fr[i]*grn[i]%p;
		ntt(limit,fr,0);
		for(int i=0;i<=n-m;++i) q[i]=fr[i];
		reverse(q,q+n-m+1);
		for(int i=0;i<=n-m;++i) printf("%lld ",q[i]);
		putchar('
');
		ntt(limit,q,1);ntt(limit,g,1);
		for(int i=0;i<limit;++i) q[i]=q[i]*g[i]%p;
		ntt(limit,q,0);
		for(int i=0;i<m;++i) printf("%lld ",(f[i]-q[i]+p)%p);
	}
}
signed main()
{
	red::main();
	return 0;
}