微积分入门

不会这东西啥也学不动啊……

前言

懒得像线代写那么详细了，这这篇确保自己几个重要公式和定义掌握了

符号定义：(d)+某个变量表示某个变量的极小的一点变化

(upd):终于不用当做观影总结啦！留个坑，过两天把秦神课件上的内容补上

导数

导数形式

对于任意函数(f(x))，它的导数(f'(x))为(frac{df(x)}{dx}=frac{f(x+dx)-f(x)}{dx})

导数定义

导数在有些人的理解中可能会被概括为：某个函数的瞬时变化率

这个概括的确可以帮助人理解，但是瞬时有变化吗？这显然是矛盾的

那么导数究竟是什么？

我们考虑一个实际例子：汽车在行驶过程中的测速仪是如何测出当前时刻的速度的？

测速仪会显示出汽车在很短的时间内移动的距离，再除以这段很短的时间，将得到的答案近似为当前时间的速度

对测速仪来说，它绕开瞬时变化率，转而研究很短一段时间内的变化率解决了这个问题

回到导数上来，我们对汽车建立一个数学模型：(s(t))为汽车(t)时刻内走过的位移

那么(s(t))的导数可以表示为(frac{ds}{dt}(t))，即穿过这条函数上(s(t))和(s(t+dt))两点直线的斜率

当(dt)越来越趋近于(0)，那么这两个也越来越近，直线越来越逼近在(t)点时图像的切线

所以导数在数学上的含义是：经过图像上某一点的切线

但是瞬时变化率是没有意义的，我们应该把导数的实际含义看作“某一点附近的变化率的最佳近似”

这段貌似有点矫情，不理解也不妨碍看下面的内容或者做题

代数求导

考虑对(f(x)=x^3)求导数

(f'(x)=frac{df(x)}{dx}=frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=frac{(x+dx)^3-x^3}{dx}=frac{x^3+3x^2(dx)+3x(dx^{2})+dx^3-x^3}{dx}=frac{3x^2(dx)+3x(dx^{2})+dx^3}{dx}=3x^2+3x(dx)+dx^2)

当(dx)逼近(0)时，含(dx)的项可以忽略，所以最终(f'(x)=3x^2)

几何求导

我们可以把(f(x)=x^2)看作求一个边长为(x)的正方形的面积，那么假设正方形的边长增加了一个(dx)，面积的增加量应该为(2x(dx)+dx^2)，写成导数形式即为(frac{df}{dx}=2x+dx=2x)

幂函数求导

对于任意幂函数(f(x)=x^n)，有(f'(x)=nx^{n-1})

直观解释:

设(f(x)=x^n)，那么(f(x+dx)=(x+dx)^n)，展开后面会得到(x^n+n(x^{n-1})dx+……)

为什么后面我不写了？因为在求导的时候后面的项仍然会保留至少一个(dx)，会被忽略掉

而(x^n)会被减掉，所以(f'(x)=nx^{n-1})

组合函数求导

函数相加

(frac{d}{dx}(g(x)+h(x))=frac{dg}{dx}+frac{dh}{dx})

证明：

(frac{d}{dx}(g(x)+h(x))=frac{g(x+dx)-g(x)+h(x+dx)-h(x)}{dx}=frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}+frac{h(x+dx)-h(x)}{dx}=frac{dg}{dx}+frac{dh}{dx})

函数乘积

举个例子：(f(x)=sin(x)x^2)

这东西代数上不好看，我们考虑用几何求导

(f(x))表示的几何意义即为边长为(sin(x))和(x^2)的矩形的面积

仍然考虑一点微小的变化(dx)

矩形面积将改变

(sin(x)*((x+dx)^2-x^2) + x^2*(sin(x+dx)-sin(x)) + ((x+dx)^2-x^2)*(sin(x+dx)-sin(x)))

容易发现最后这一项与(dx^2)成正比，忽略掉

那么(df=sin(x)d(x^2)+x^2d(sin(x)))

把后面的改变量计算出来得

(df=sin(x)2xdx+x^2cos(x)dx)

(frac{df}{dx}=sin(x)2x+x^2cos(x))

仔细观察我们可以得出一个更一般的结论

(f(x)=g(x)h(x))

(f'(x)=g(x)h'(x)+h(x)g'(x))

我们称之为左乘右导，右乘左导

复合函数

一般可以写成(g(h(x)))

例如(g(x)=sin(x),h(x)=x^2)，则(g(h(x))=sin(x^2))

对于复合函数我们需要一步一步分析

先考虑一个(dx)对最内层(h(x))的影响，这个我们应该很熟悉，我们会得到一个(dh)，再用(dh)改变(g(x))，但是我们展开的过程应该是从外向内展开

就以上面的函数为例，当我们取(dx)时，(d(sin(x^2))=cos(x^2)d(x^2)=cos(x^2)2xdx)

归纳一个更一般的结论:(frac{d}{dx}g(h(x))=frac{dg}{dh}(h(x))frac{dh}{dx}(x))

注意等式右边的第一项分母是(dh)而不是(dx)，因为它的内层函数的变化量

这个结论叫做链式法则

只要一直套用上面的形式，链式法则可以无限长，如果你有耐心解

指数函数求导

我们来看一个常见的指数函数(f(x)=2^x)

无脑地用(dx)求导：(f'(x)=2^xfrac{2^{dx}-1}{dx})

当(dx)无限逼近于(0)时，可以得到后面这一项约等于(0.6931……)

我们发现指数函数的导数就是它本身乘以了一个奇怪的常数，虽然我们也不知道这个常数是怎么来的

如果我们多实验几个，会发现(f(x)=8^x)时，(f'(x)≈8^x*(2.0794……))

如果你细心可能会发现(8=2^3,0.2794≈3*0.6931)

为啥？凭啥？

我们先放在一边，这个时候我们应该有一个全新的疑惑：有没有一个数的指数函数令这个常数等于(1)？

当然有，它就是(e)，对于(f(x)=e^x,f'(x)=e^x)

为什么，是巧合吗？

因为这本身就是人家的定义啊……

通过(e)，也许我们能解决那些迷之常数和(2,8)之间迷之倍数的关系

如果(f(x)=e^{ct})，根据链式法则(f'(x)=ce^{ct})

那么(2^x=(e^{ln(2)})^x=e^{ln(2)x})，其导数为(ln(2)e^{ln(2)x}=ln(2)2^x)

同理(f(x)=8^x,f'(x)=ln(8)8^x)

根据初中姿势：(ln(8)=3ln(2))

就都可以解释辣

隐函数求导

这玩意真**玄学啊……

隐函数

一般来说我们初中学的函数定义是：给定一个(x)，能唯一确定一个(y)值的变换法则

但是我们学到的有些东西显然不满足这个性质，比如圆的方程

但是它们好像又很特殊，不同与一般的变换

如果一个变换在它的定义域上存在一个子集(D)，使得每个(xin D)，存在相应的(y)使得(F(x,y)=0)，则称方程确定了一个隐函数

显然圆的方程确定了一个隐函数

那么比如说我们有(x^2+y^2=3^2)，我们怎么求出一个圆上某一点的斜率(frac{dy}{dx})？

当然我们可以大力化式子：

(y=sqrt{3^2-x^2})

然后无脑链式法则

不过还可以稍微变化一下思路，考虑将(x^2)写作(x( heta)^2,y^2)写作(y( heta)^2)，然后对两边分别求导

(2x( heta)frac{dx}{d heta}+2y( heta)frac{dy}{d heta}=0)

我们对两边分别乘以(d heta)得到

(2xdx+2ydy=0)

化简得(frac{dy}{dx}=-frac{x}{y})

感觉这玩意(OI)中不会再拓展了，溜了溜了

极限

导数的正式定义

我们一般考虑导数时的操作是：选一个极小量(dx)，然后计算(frac{df}{dx})

实际上，当(dx)无限逼近(0)时它才是真正的导数

写作(frac{df}{dx}=limlimits_{h→0}frac{f(x+h)-f(x)}{h})

这里右边不用(dx)是因为在极限中一般不含带(d)的字母，我们认为(d)内置了极限的思想

右边这个形式就是导数的正式定义

(upd：)这里的(h)应该看作一个有限小的变化量，而非无穷小，我们只需要考虑它逼近于(0)的情况

极限的ε-δ定义

考虑一个函数(f(x)=frac{(2+x)^3-2^3}{x})

我们可以发现这个函数的定义域并不连续，当(x=0)的时候，函数变为了(frac{0}{0})

但是当(x)无限逼近于(0)的时候，它仍然是有定义的，这个比值的极限是(12)

那有人会发问：这个逼近到底是什么意思？

可以发现在上面的曲线中，对于(x=0)附近的点，它们的取值都在(12)附近，而且不断缩小(x)的取值范围，函数值的范围越来越逼近(12)，且这个范围可以无限小

反例：

这个函数在(x=0)的时候同样没有定义

但是在(x)逼近于(0)的时候，它的取值不确定，也许是(2)，也许是(-2)，我们称它极限不存在

这就是极限的(ε-δ)定义

我们用(δ)表示自变量取值的范围，(ε)表示函数在值域上的范围，这段距离可以无限小

极限存在的前提就是：总能在极限点附近某一(δ)范围内找到一系列取值点使得范围内任意取值点都处在某一数值的(ε)范围之内，且这种情况对任意(ε)成立

如第二张图中，若我们取(ε)为(1)，则不存在(δ)满足要求

洛必达法则

对于某个极限点，我们知道直接代入这个点会得到(frac{0}{0})，如果我们要确定这个极限点的取值该怎么办？

我们假设某个函数为(f(x)=frac{g(x)}{h(x)})，它存在某个点(a)使得(g(a)=0,h(a)=0)

我们可以考虑，用导数的反求极限

我们把(g(x))和(h(x))分开了考虑，则这两个函数在(a)点处的取值都为(0)

那么也就是说，在(a)点附近很小的一段区域内，函数的导数乘以变化量就约等于函数的取值

即(g(a+dx)=frac{dg}{dx}(a)dx)，当(dx)约逼近于(0)取值越精准

则(limlimits_{x→a}frac{g(a)}{h(a)}=frac{frac{dg}{dx}(a)dx}{frac{dh}{dx}(a)dx})

消掉(dx)得到

(limlimits_{x→a}f(a)=frac{frac{dg}{dx}(a)}{frac{dh}{dx}(a)})

这个叫做洛必达法则

简单说，如果(g(a)=0,h(a)=0)，那么(limlimits_{x→a}frac{g(x)}{h(x)}=limlimits_{x→a}frac{g'(x)}{h'(x)})

(ps：)洛必达法则是洛必达向伯努利买来的

积分

积分

我们仍然考虑一个开车小汽车的问题：

给定小汽车的时间-速度函数(v(t))，如何求出小汽车的时间-位移函数(s(t))？

其实我们问题就是求，什么函数的导数为(v(t))

这类问题通常被称为求函数的原函数（反导数）

对于求曲线下面积的问题，通常手法是将曲线分解成许多个宽度极小的矩形，然后求这些矩阵面积的和

矩形的宽度越小，答案越精准，当宽度无限逼近于(0)时，得到的结果就是正确答案

我们用(int_{x}^{y})来表示([x,y])区间内所有点表达式的和

如果要求(T)时刻内汽车走过的距离，我们可以写成 (int_{0}^{T}v(t)dt)，我们称之为(v(t))的积分

为什么我们不用(sum)呢？因为我们所表达的意思不是实际上的加和，而是(dt)在趋近于(0)时，加和趋近于的值

微积分基本定理

在解积分是过程中，我们可以通过导数来推出原函数，但是并不能推出原函数的常数

如果你想问咋求原函数的其他项：靠猜

因为常数项求导之后会消失

其实我们求一段面积没必要知道常数项具体是多少

仍然拿上面的小车举例子，有(int_{x}^{y}v(t)dt=s(y)-s(x))

常数项自然会被抵消掉

(int_{x}^{y}f(x)dx=F(x)-F(y))被称作微积分基本定理

泰勒级数

泰勒级数

如果一个函数(f(x))在(x=x_0)处具有任意阶导数

则(f(x))在点(x_0)处的泰勒级数为(sumlimits_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n)

同时这也是函数在(x_0)处的最佳近似多项式

泰勒级数收敛到(f(x_0))，泰勒级数能让多项式和收敛的最大范围叫做泰勒级数的收敛半径

颓了，不想解释泰勒级数了，就说一句吧：

每增加一项，就会让(x0)点附近的曲线变化率更接近原函数