多项式指数函数

给定(n-1)次多项式(A(x))，求一个(mod\, x^n)下的多项式(B(x)),满足(B(x)≡e^{A(x)})，系数对(998244353)取模

一大堆前置姿势：

微积分
多项式对数函数
多项式牛顿迭代

计算(F(x)≡e^{A(x)}(mod\, x^n))

两边同时取对数得

(lnF(x)-A(x)≡0 (mod\, x^n))

设

(G(F(x))=lnF(x)-A(x)(mod\, x^n))

套一下牛顿迭代公式

(F(x)=F_0(x)-frac{G(F(x))}{G'(F_0(x))}(mod\, x^n))

(A(x)) 是给定的常数项，那么(G'(x)=G(x)^{-1})

可以整理出来

(F(x)=F_0(x)(1-lnF_0(x)+A(x))(mod\, x^n))

然后递归求解，注意边界为(F(0)=1)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define eps (1e-8)
	inline int read()
	{
		int x=0;char ch,f=1;
		for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
		if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
		while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
		return f?x:-x;
	}
	const int N=5e5+10,p=998244353,g=3;
	int n;
	int a[N],b[N],c[N],f[N],pos[N];
	int A[N],B[N];
	inline int fast(int x,int k)
	{
		int ret=1;
		while(k)
		{
			if(k&1) ret=ret*x%p;
			x=x*x%p;
			k>>=1;
		}
		return ret;
	}
	inline void ntt(int limit,int *a,int inv)
	{
		for(int i=0;i<limit;++i)
			if(i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);
		for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
		{
			int Wn=fast(g,(p-1)/(mid<<1));
			for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r)
			{
				int w=1;
				for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn%p)
				{
					int x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%p;
					a[j+k]=x+y;
					if(a[j+k]>=p) a[j+k]-=p;
					a[j+k+mid]=x-y;
					if(a[j+k+mid]<0) a[j+k+mid]+=p;
				}
			}
		}
		if(inv) return;
		inv=fast(limit,p-2);reverse(a+1,a+limit);
		for(int i=0;i<limit;++i) a[i]=a[i]*inv%p;
	}
	inline void deriva(int *a,int *b,int n)
	{
		for(int i=1;i<n;++i) b[i-1]=a[i]*i%p;
		b[n-1]=0;
	}
	inline void integral(int *a,int n)
	{
		for(int i=n-1;i;--i) a[i]=a[i-1]*fast(i,p-2)%p;
		a[0]=0;
	}
	inline void poly_inv(int pw,int *a,int *b)
	{
		if(pw==1) {b[0]=fast(a[0],p-2);return;}
		poly_inv((pw+1)>>1,a,b);
		int len=0,limit=1;
		while(limit<(pw<<1)) limit<<=1,++len;
		for(int i=0;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
		for(int i=0;i<pw;++i) c[i]=a[i];
		for(int i=pw;i<limit;++i) c[i]=0;
		ntt(limit,c,1);ntt(limit,b,1);
		for(int i=0;i<limit;++i) b[i]=((2-c[i]*b[i]%p)+p)%p*b[i]%p;
		ntt(limit,b,0);
		for(int i=pw;i<limit;++i) b[i]=0;
	}
	inline void ln(int *a,int *b,int n)
	{
		deriva(a,A,n),poly_inv(n,a,B);
		int len=0,limit=1;
		while(limit<(n<<1)) limit<<=1,++len;
		for(int i=0;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
		ntt(limit,A,1);ntt(limit,B,1);
		for(int i=0;i<limit;++i) b[i]=A[i]*B[i]%p;
		ntt(limit,b,0);
		integral(b,limit);
		for(int i=0;i<limit;++i) A[i]=B[i]=0;
	}
	inline void exp(int pw,int *a,int *b)
	{
		if(pw==1) {b[0]=1;return;}
		exp((pw+1)>>1,a,b);ln(b,f,pw);
		int len=0,limit=1;
		while(limit<(pw<<1)) limit<<=1,++len;
		for(int i=0;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
		f[0]=(a[0]+1-f[0])%p;
		for(int i=1;i<pw;++i) f[i]=(a[i]-f[i]+p)%p;
		ntt(limit,f,1);ntt(limit,b,1);
		for(int i=0;i<limit;++i) b[i]=b[i]*f[i]%p;
		ntt(limit,b,0);
		for(int i=pw;i<limit;++i) b[i]=f[i]=0;
	}
	inline void main()
	{
		n=read();
		for(int i=0;i<n;++i) a[i]=read();
		exp(n,a,b);
		for(int i=0;i<n;++i) printf("%lld ",b[i]);
	}
}
signed main()
{
	red::main();
	return 0;
}