最小乘积模型

最小乘积模型

每种物品有两个权值(a_i,b_i)，求选出(k)个物品，使得(sum{a_i}*sum{b_i})最小

考虑先求出(sum{a_i})和(sum{b_i})最小的两种方案，记为(A,B)

我们将(sum{a_i})和(sum{b_i})看作两个坐标，则(A,B)可以看作二维平面上的两个点

据说图片来自(hyj)的(blog)，侵删

我们发现我们要找的点应该是位于(A,B)的左下方，且(S_{ABC})最大的点

根据(S_{ABC}=-frac{AB×AC}{2})（此处是叉积）

可以得出我们要让(AB)与(AC)的叉积最小（因为是负数）

化简一下

[AB×AC=(x_B​−x_A​)(y_C​−y_A​)−(x_C​−x_A​)(y_B​−y_A​)=(x_B-x_A)*y_C+(y_A-y_B)*x_C-(x_B-x_A)*y_A+(y_B-y_A)*x_A ]

发现后两项中没有(C)，我们将物品权值改为(c_i=(x_B-x_A)*b_i+(y_A-y_B)*a_i)

然后求最小(sum{c_i})，递归到(AB×ACge 0)为止

例题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define ls(p) (p<<1)
#define rs(p) (p<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
	inline int read()
	{
		int x=0;char ch,f=1;
		for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
		if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
		while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();} 
		return f?x:-x;
	}
	const int N=1e4+10;
	int n,m,suma,sumb;
	struct point
	{
		int x,y,a,b,c;
		inline bool operator < (const point &t) const{ return c<t.c; }
	}a[N];
	struct node
	{
		int x,y;
		inline node operator - (const node &t) const
		{
			return (node){x-t.x,y-t.y};
		}
		inline int cross(const node &t) const
		{
			return x*t.y-y*t.x;
		}
	}A,B,ret;
	int f[N];
	inline int find(int k){return f[k]==k?k:f[k]=find(f[k]);}
	inline node kruskal()
	{
		for(int i=1;i<=n;++i) f[i]=i;
		sort(a+1,a+m+1);
		int suma=0,sumb=0,tot=0;
		for(int i=1;i<=m;++i)
		{
			int x=find(a[i].x),y=find(a[i].y);
			if(x==y) continue;
			f[x]=y;
			suma+=a[i].a,sumb+=a[i].b;
			if(++tot==n-1) break;
		}
		if(1ll*suma*sumb<1ll*ret.x*ret.y||(1ll*suma*sumb==1ll*ret.x*ret.y&&suma<ret.x)) ret.x=suma,ret.y=sumb;
		return (node){suma,sumb};
	}
	inline void solve(node A,node B)
	{
		for(int i=1;i<=m;++i)
			a[i].c=(B.x-A.x)*a[i].b+(A.y-B.y)*a[i].a;
		node C=kruskal();
		if((B-A).cross(C-A)>=0) return;
		solve(A,C),solve(C,B);
	}
	inline void main()
	{
		n=read(),m=read();
		for(int i=1;i<=m;++i)
			a[i].x=read()+1,a[i].y=read()+1,a[i].a=a[i].c=read(),a[i].b=read();
		ret.x=ret.y=1e9+7;
		A=kruskal();
		for(int i=1;i<=m;++i) a[i].c=a[i].b;
		B=kruskal();
		solve(A,B);
		printf("%d %d",ret.x,ret.y);
	}
}
signed main()
{
	red::main();
	return 0;
}