设数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)
已知对于任意正整数(n),都有(a_n+S_n=n+3)
若存在正整数(n_0),使得((6-n_0)(1-a_{n_0})ge frac{m^2}{4}),求实数(m)的取值范围
解答:
[a_1+S_1=1+3
]
[a_1=2
]
[a_n+S_n=n+3
]
[a_{n-1}+S_{n-1}=n+2
]
联立得到
[a_n=frac{1}{2}a_{n-1}+frac{1}{2}
]
[a_n-1=frac{1}{2}(a_{n-1}-1)
]
设({b_n}={a_n-1})
[b_n=frac{1}{2}b_n-1,b_1=1
]
推出
[a_n=frac{1}{2^{n-1}}+1
]
所以
[(6-n)(1-frac{1}{2^{n-1}}-1)ge frac{m^2}{4}
]
[frac{n-6}{2^{n-1}}ge frac{m^2}{4}
]
设(f(n)=frac{n-6}{2^{n-1}})
因为(f(n))是离散数列
[f(n+1)-f(n)=frac{7-n}{2^n}
]
当(7-n>0)时(f(n))递增,(7-n<0)时递减,所以(f(n))最大值为(f(7)=f(8)=frac{1}{64})
[frac{1}{64}ge frac{m^2}{4}
]
所以(min [-frac{1}{4},frac{1}{4}])