已知(f(x)=e^{2x}-alnx-bx,xin (0,+∞))
((1))当(a=0)时，求函数(f(x))的极值
((2))当(b=0,a>0)时，求证：(f(x)ge 2a+alnfrac{2}{a})
解：
((1))
当(a=0)时
[f(x)=e^{2x}-bx
]
[f'(x)=2e^{2x}-b
]
当(ble 2)时
(f'(x)ge 0)，(f(x))无极值
当(b>2)时
[f'(x)=2e^{2x}-b=0
]
[x=frac{1}{2}ln(frac{b}{2})
]
(f(x))极小值为(f(frac{1}{2}ln(frac{b}{2}))=frac{b}{2}ln(1-frac{b}{2}))，无极大值
((2))
当(b=0,a>0)时
[f(x)=e^{2x}-alnx
]
[f'(x)=2e^{2x}-frac{a}{x}
]
(2e^{2x})单调增，(-frac{a}{x})单调增，所以(f'(x))单调增
[f'(x→0)→-∞<0
]
[f(a)=2e^{2a}-frac{a}{a}>0
]
所以在((0,a))中(f'(x))存在零点(x_0)
[f'(x_0)=2e^{2x_0}-frac{a}{x_0}=0
]
[2e^{2x_0}=frac{a}{x_0}
]
[2x_0=lnfrac{a}{x_0}
]
[f_{min}(x)=f(x_0)=e^{2x_0}-frac{a}{x_0}
]
[=frac{a}{2x_0}+2ax_0-2ax_0-alnx_0
]
[=frac{a}{2x_0}+2ax_0-a(2x_0+lnx_0)
]
[=frac{a}{2x_0}+2ax_0-a(lnfrac{a}{2x_0}+lnx_0)
]
[=frac{a}{2x_0}+2ax_0-alnfrac{a}{2}
]
[=frac{a}{2x_0}+2ax_0+alnfrac{2}{a}ge 2*sqrt{frac{a}{2x_0}*2ax_0}+alnfrac{2}{a}=2a+alnfrac{2}{a}
]
综上(f(x)ge 2a+lnfrac{2}{a})