「数学」欧拉函数

定义

(phi(n))为小于等于(n)且和(n)互质的数的个数（包括(1))

通项

[phi(n)=n*(1-frac{1}{p_1})(1-frac{1}{p_2})……(1-frac{1}{p_m}) ]

其中(p_1,p_2……p_m)是(n)的所有质因数(phi(1)=1)

[phi(x)=xprod_{i=1}^{n}(1-frac{1}{p_i}) ]

性质

(1.)当(n)和(m)互质时，(phi(n*m)=phi(n)*phi(m))
根据通项很好证明

(2.)若(p|i),则(phi(i*p)=p*phi(i))
根据通项很好证明

(3.)对于互质的(a)和(m)，有(a^{phi(m)}≡1 (\% m))，即(a)的逆元为(a^{phi(m)-1})(欧拉定理)，当(m)为质数时，(phi(m)=m-1)

证明：

将(1)到(m)中与(m)互质的数设为(x_1,x_2……x_{phi(m)})

令(p_1=a*x_1,p_2=a*x_2,……,p_{phi(m)}=a*x_{phi(m)})

引理(1)：(p)之间两两模(m)不同余，(x)之间两两模(m)不同余

反证：若(p_i-p_j≡0 （\% m）(i eq j))，则(a(x_i-x_j)=km)

(x_i-x_j)不相等且小于(m)，矛盾

引理(2)：每个(p)模(m)的结果都和(m)互质

反证：若(ax_i=km+r,gcd(r,m)>1)

则(ax_i-km=r)

因为(gcd(a,m)==1)，根据(exgcd)，解出的(x)最后要乘以(r)，这与(x)和(m)互质矛盾

根据两个引理得到，所有(p)模(m)的集合与(x)的集合是相等的

[prod p_i≡prod x_i ]

[a^{phi(m)}prod x_i≡prod x_i ]

[a^{phi(m)}≡1 ]

(4.)扩展欧拉定理：

(f(n) = egin{cases} a^{c mod phi(m)}, & ext{gcd(a,m)==1} \ a^c, & ext{gcd(a,m)≠1,c<φ(m)} \ a^{(c mod phi(m))+ phi(m)}, & ext{gcd(a,m)≠1,c≥φ(m)} end{cases})

证明：

前两个不用证，只要证第三个

取(a)的一个质因子(p)，令(m=s*p^r,gcd(s,p)=1)

[p^{phi(s)}≡1 (mod s),phi(s)|phi(m) ]

[p^{phi(m)}≡1(mod s) ]

[p^{k*phi(m)}≡1(mod s) ]

[p^{k*phi(m)+r}≡p^r(mod m) ]

[p^{k*phi(m)+r+c}≡p^{r+c}(mod m) ]

因为(c>phi(m))所以同余仍成立