前缀和与差分(温故知新)

所谓前缀和就是前n个数的总和，预处理以后可以通过b[r]-b[l-1]得出由l到r的值。

1.一维前缀和

比较简单不多赘述。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int a[100], b[100];
    int n, l, r;
    cin >> n;
    cin >> l >> r;
    //打表
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    b[1] = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        b[i] = b[i-1] + a[i];
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << b[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    cout << b[r]-b[l-1];
    return 0;
}

2.二维前缀和

预处理状态转移方程：b[i][j] = b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1] + a[i][j]，下图很形象的表示出了这个式子。要求从b[x1][y1]到b[x2][y2]的和即为b[x2][y2] - b[x1-1][y2] - b[x2][y1-1] + b[x1-1][y1-1]，依旧表示如图。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int a[100][100], b[100][100];
    int n, m, x1, x2, y1, y2; //假设x2>x1, y2> y1
    cin >> n >> m;
    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;  //从b[x1][y1]到b[x2][y2]
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
    }

    //打表
    memset(b, 0, sizeof(b)); //这个不要忘记
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            b[i][j] = b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1] + a[i][j];
    }

    cout << b[x2][y2] - b[x1-1][y2] - b[x2][y1-1] + b[x1-1][y1-1];
    return 0;
}

3.差分

差分：对于数列 a，其第 i 个元素和第 i - 1 个元素的差称为数列 a 第 i 项的差分。

表达式：    b[i] = a[i] - a[i - 1]

对差分数组求前缀和就可以得到原数列a  :sumb[i] = b[1] + b[2] + ... b[i] = a[1] + a[2] - a[1] + ... + a[i] - a[i - 1] = a[i]

简单应用：对从l到r的数组进行批量加减。

最简单的做法就是对于修改操作逐一加上 p，对于查询操作可以用前面的前缀和来求。但这样会t。其实我们可以拿差分数组做文章，每次只修改差分数组的两个端点即可，见下面的图解举例：

1.先求出差分序列

2.给定区间的头元素+p

3.给定区间的尾元素的下一个元素-p

4.求出区间和，反推原数组

 代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int n, l, r, d, a[100], b[100], sum[100];
    cin >> n;
    cin >> l >> r >> d; //从l到r,增加d
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    //差分数组
    b[1] = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++) b[i] = a[i] - a[i-1];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cout << b[i] << " ";
    cout << endl;
    //通过差分数组求原数组
    sum[1] = b[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++) sum[i] = sum[i-1] + b[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cout << sum[i] << " ";
    cout << endl;
    //原数组增加d后再由差分数组求原数组
    b[l] += d;
    b[r+1] -= d;
    sum[1] = b[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++) sum[i] = sum[i-1] + b[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cout << sum[i] << " "; //这块可以设计成函数但是我懒得捣鼓了
    return 0;
}

参考博客：https://www.cnblogs.com/yxr001002/p/13353775.html

https://www.cnblogs.com/hulean/p/10824752.html