2021/10/3(偏序)

引言

信息学竞赛中有个很经典的问题——偏序问题。

可能很多人并没有听说过什么是偏序问题，但大多应该都听说过逆序对和最长上升子序列问题。这两个问题都是偏序问题的一种。

先来理解下偏序关系的定义。

定义

偏序关系

设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：

1. 自反性：对任意x∈A，有xRx；
2. 反对称性（即反对称关系）：对任意x,y∈A，若xRy，且yRx，则x=y；
3. 传递性：对任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，则xRz。

则称R为A上的偏序关系，通常记作≼。

 

这一系列数学定义可能比较难懂，但如果你把小于等于号带入这个R就容易明白了，这个定义就是诞生在小于等于号上的，当然他不仅是代表小于等于号，数学将这些概念抽象化就是为了提炼出更加普适性的概念。比如集合的包含关系也是一种偏序关系，带入这3个定义，显然都可以满足。

同理，我们给小于号也下一个定义。它和小于等于相似但又有不同，我们称之为严格的偏序关系，相对应上面的称之为非严格的偏序关系。

 

给定集合S，“<”是S上的二元关系，若“<”满足：

1. 反自反性：∀a∈S，有a≮a；

2. 非对称性：∀a，b∈S，a<b ⇒ b≮a；

3. 传递性：∀a，b，c∈S，a<b且b<c，则a<c；

则称“<”是S上的严格偏序或反自反偏序。

与非严格的偏序关系不同的地方就是没有反对称性，取而代之的是非对称性。上面写的包含关系是一种偏序关系，更准确的说，包含关系是非严格的偏序关系，而真包含是严格的偏序关系。

全序关系

偏序和全序是公里集合论中的概念，全序关系是偏序关系的一个子集，如果是全序关系那必然是偏序关系，全序关系在全序关系上增加了一个完全性。

设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：

1. R是集合A上的一个偏序关系。
2. 完全性：对任意x∈A，y∈A,存在 (x,y)∈R或(y,x)∈R

 在实数集上的大于小于号等大小关系，更准确的说应该属于一种全序关系，因为实数集上所有的数都能比较。但如果将数域扩展到复数域，复数域中的部分数是不能比较的，所以复数域中的大于小于号等大小关系是偏序关系而不是全序关系。同样的，集合之间的包含关系也不是全序关系，因为两集合可以处于不包含也不被包含的互相独立的状态。

正文

偏序问题

给定序列A，其中有序对(A_i,A_j)，满足 i<j 且 A_i<A_j这样的有序对我们称之为逆序对，

信息学竞赛中的逆序对问题，一般是要我们计数给出序列的逆序对个数的总和。

其实可以把它看成一个特殊的二维偏序问题，或者说是离散化x坐标的二维偏序问题。

我们把给定的序列A ，加上一个编号，变成一个二元组，即A₁-->(A₁,1) ,A₂-->(A₂,2) A_i-->(A_i,i)。存在两个二元组（a，b），（c，d），满足 a > c 且 b < d 的个数。我们将二元组放在一个二维空间中，二元组（x，y）表示坐标为（x，y）的点，此时我们就会发现实际上逆序对问题，就是一种二维偏序问题。

何为二维偏序问题？ 在二元组中定义一种偏序关系R，统计R集合中元素的个数。

比如逆序对问题，定义的关系就是：两个二元组（a，b），（c，d），满足 a > c 且 b < d 。易知它满足偏序关系的3个定义，并且任意的两个二元组也不都有关系,所以就不是全序，当然由于逆序对问题一般不会出现重复的数字，所以前两个定义需要特别判断，但它可以满足最后的也是最重要的一条性质——传递性。也正是因为传递性我们才能使用各种算法来解决它们。

在信息学竞赛中我们解决逆序对使用的是，线段树或归并排序，实际上这里的归并排序就是cdq分治，实际上都是使用的分治法。

这两种方法本质上相同，都是通过排序解决一个维度的问题，然后再使用分治快速处理另外一个维度的问题。

特别的最长上升子序列问题也是一种偏序问题，实际上可以转换为，给出n个元素的二元组集合S，其中有二元组(A₁,1)，(A₂,2)...(A_n,n),在二元组中有关系R，定义为 二元组A （a，b）R B（c，d）当且仅当b<d 且 a<c,求集合S的一个最大子集满足，子集中的关系R为全序关系。